正加權有向無環圖中的k邊最短路徑

Question

我得到一個圖，G =（V，E），即正加權，有向和非循環。 我將設計一個在O（k（m + n））中運行的算法，用於報告從s到t的k邊緣最短路徑。 k邊緣最短路徑被定義為從s到t的具有k個邊緣的路徑，並且對於從s到t的所有路徑，路徑的總權重也必須是最小的。

由於BFS不能單獨用於查找最短路徑（除非權重相等），我認為運行時間意味着使用BFS來查找具有k個邊緣的路徑。 什么讓我失望的是k，因為我認為它意味着執行BFS k次。

我可能的想法是從源運行BFS以找到所有可能的k-link路徑。 通過跟蹤沿途的水平並將每個節點的總路徑權重存儲到我的隊列中，我可以找到所有可能的k-link路徑及其權重。 顯然，如果我在較低級別遇到具有較低路徑權重的目的地，則根據定義沒有k邊緣最短路徑。 如果有超過k個邊的路徑總重量減少的情況怎么辦？ 它也不是O（k（m + n））。 任何有用的提示將不勝感激。

Answer 1

設f[i][j]是從s到j的i-link最短路徑，最初我們有

f[1][x] = e(s, x);

然后迭代K - 1次，每輪我們使用f[i][]計算f[i + 1][] ，這可以通過

for each node v:
    f[i + 1][v] = INF;
for each edge e[u][v]:
    f[i + 1][v] = min(f[i + 1][v], f[i][u] + e[u][v]);

因此取O(k(n + m)) 。