加權有向圖最短路徑的最佳方法

Question

對於我正在做的一個問題，我很困惑為什么答案是 BFS 而不是 Dijkstra 的算法。

問題是：有一個加權有向圖 G=(V,E)，具有 n 個節點和 m 個邊。 每個節點的權重為 1 或 2。問題是要找出使用哪種算法在 G 中找到從給定頂點 u 到給定頂點 v 的最短路徑。選項有：

a) O(n+m) time using a modified BFS
b) O(n+m) time using a modified DFS
c) O(mlogn) time using Dijkstra's Algorithm
d) O(n^3) time using modified Floyd-Warshall algorithm

答案是 a) O(n+m) 時間使用修改后的 BFS，

我知道在將 BFS 與 DFS 進行比較時，BFS 更適合較短的路徑。 我也知道 Dijkstra 的算法類似於 BFS，如果我沒記錯的話，Dijkstra 的算法更適合這種情況下的加權圖。 我假設 BFS 更好，因為它說修改后的 BFS，但修改的確切含義是什么，或者還有另一個原因 BFS 會更好。

Answer 1

Since all paths are limited to either a distance of 1 or 2, for every edge of length 2 from nodes a to b you can just create a new node c with an edge from a to c of length 1 and an edge from c to b長度為 1，然后這變成一個只有權重為 1 的邊的圖，通常可以BFS找到從u到v的最短路徑。 由於您只添加了O(m)個新節點和O(m)個新邊，因此 BFS 的時間復雜度為O(n+m) 。

另一種可能性是，在 BFS 的每一層，存儲另一個節點列表，這些節點由當前層的權重為 2 的邊獲得，並與稍后獲得兩層的節點同時考慮它們。 這種方法雖然有點挑剔。