極小程度有向無環圖中的最短路徑

Question

給定n個頂點上的加權有向非循環圖，使得每個頂點具有至多5 indecree和最多5 outdegree。 節點0, 1, ..., n - 1的定向如下

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

...

n-5 n-4 n-3 n-2 n-1

邊緣只能從一行中的節點到下一行中的某個節點。

我們將給出q查詢，詢問從u到v的最短路徑長度。 這里n可以高達10^5 ， q高達10^4 。 權重都是正整數。

我們能否做得比O(nq)動態編程更好（這顯然不適用於此）？

Answer 1

這似乎太好了，不好意思，如果它不是......你可以得到O(n) （ 編輯 ： O(n^(4/3)) ）預處理和O（1）查詢。

我在考慮你知道如何在時間O(n^2)中計算圖中所有節點之間的所有最短距離。 （這確實可能，你似乎知道）

將圖形划分為k個塊，每個塊包含n/(5*k)行。 （塊應該在完整的行上開始和結束，並且兩個連續的行在它們各自的第一行和最后一行上重疊）

計算每個塊中所有節點（特別是第一行和最后一行）之間的最短路徑： O((n/k)^2) 。

然后，您可以考慮僅包含兩個塊之間邊界處的節點的簡化圖，其邊值等於它們剛剛計算出的最短路徑。此簡化圖的大小為O(k) 。 在時間O(k^2)計算該圖中的所有最短路徑。

總預處理時間： O((n/k)^2 + k^2) 。 取k=sqrt(n) ，得到O(n)預處理。

然后查詢時間為O(1) ：取u塊結束時的5個節點，v塊開始處的5個節點（如果塊不同），你只需要比較u-> v的25種可能性

編輯

當然這是假的。 實際上你有k塊用於計算最短路徑，因此該步驟的總復雜度為O(k*(n/k)^2) 。 因此總和為O(n^2/k + k^2) ， O(n^2/k + k^2)的最佳選擇是k=n^(2/3) ，這給出了O(n^(4/3))預處理的總復雜度O(n^(4/3))和總查詢O(q)