為了找到最短路徑，如何在有向加權圖中將一個邊精確設置為零？

Question

以下是我正在研究的問題：

考慮一個有向加權圖G ，其中所有邊緣權重均為正。 這個問題的目的是在兩個預先指定的頂點s和t之間找到G的最短路徑，但要增加一點扭曲：允許將（選擇的）一條邊的權重更改為零。

換句話說，您必須在G中選擇一個邊沿以將其設置為零，以最小化s和t之間的最短路徑。 給出一種有效的算法，以在O（E lg V）時間內實現此目標，並分析算法的運行時間。 次優解決方案將獲得較少的信譽。

提示：您可能需要反轉邊緣，多次運行熟悉的算法，並做一些額外的工作

所以，我試圖運行從s Dijkstra的所有其他節點，然后我試圖逆轉的邊緣，從s再次運行到所有其他節點。 但是，我發現我們必須將Dijskstra從s運行到所有其他節點 ，然后反轉邊，然后再將Dijkstra從所有其他節點運行到t 。 我不確定這如何幫助我們找到要設置為零的邊。 根據我的直覺，我認為我們可以將最大重量邊設置為零。 反轉邊緣的意義何在？

Answer 1

我們需要運行Dijkstra的算法兩次-一次是使用s作為源頂點的原始圖，一次是使用反向圖並且t作為源頂點的圖。 我們將表示從第一次運行得到的頂點s和i之間的距離為D(i) ，從第二次運行得到的頂點t與i之間的距離為D_rev(i) 。

請注意，我們可以向后跟隨反向邊（即，沿原始方向跟隨它們），因此D_rev(i)實際上是從頂點i到t的最短距離。 同樣， D(i)是遵循Dijkstra算法的從頂點s到i的最短距離。

現在我們可以遍歷所有邊緣，對於連接v1和v2每個邊緣e ，將D(v1)和D_rev(v2) ，這對應於路徑s -> v1 -> v2 -> t的權重s -> v1 -> v2 -> t D_rev(v2) s -> v1 -> v2 -> t以e為零邊，因為我們可以從s到v1且距離為D(v1) ，所以將e設置為0，從v1到v2 ，然后從v2到t的距離為D_rev(v2) 。 這些最小的答案。

粗略的證明草圖（以及重述）：如果將邊e設置為0，但不在路徑中使用它，則最好將路徑中的邊設置為0。因此，我們只需要考慮包括歸零邊緣的路徑。 通過零邊e的最短路徑是首先采用從s到v1的最短路徑，然后采用從v2到t的最短路徑，這正是使用Dijkstra算法（即D和D_rev計算D_rev 。

希望這個答案有幫助！