給定有一個負邊（u，v）的有向加權圖，找到最短路徑（s，t）

Question

給定：有向加權圖G（V，E）和s,t是V頂點，除邊(u,v)為負之外，所有邊均為正。

問題：找到從s到t的最短路徑（ 含義：權重最小 ）。

我的解決方案：嗯，因為我們有一個消極的邊緣，所以我們應該使用Bellman-Ford算法。 在邊緣執行n-1 “松弛”，如果在第n個迭代中存在問題，則存在一個循環-因此返回false。 否則，返回從s到t的最短路徑。

另一個解決方案：使用Dijkstra，並通過保存d（u）並在負邊緣（u，v）上傳遞並進行“松弛”來對其進行一些更改，然后在沒有負邊緣的情況下再次在所有邊緣上移動被改變，我們有一個循環，否則一切都好，返回最短的路徑。

注意：我顯然不確定我的解決方案，因為存在一個負面影響這一事實很棘手，有什么想法嗎？

注意2：為了使它有趣， 您不能使用Bellman-Ford 。

Answer 1

您可以使用存在單個負邊緣的信息來創建有效的算法。

讓我們表示作為a下降沿的源節點，和b目的節點，所以我們有下降沿a -> b 。

從節點s到節點t的路徑有兩種：

1. 邊緣a->b不是路徑的一部分；
2. 邊緣a->b是路徑的一部分。

我們打算找到從s到t的最短路徑，我們將通過找到上述兩種類型中的每一種的最短路徑來做到這一點。

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沿着類型（1）的最小路徑可以通過簡單地將Dijkstra算法應用到刪除了負邊緣的修改圖形上來找到。

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對於類型（2），我們現在對從s到t的最短路徑感興趣，該路徑包含邊a->b 。 該路徑必須采用以下形式： s -> ... -> a -> b -> ... -> t 。

如果圖中沒有負循環，則邊a->b應該在最短路徑中僅出現一次（請參見此答案的最后部分，以討論負循環）。

在這種情況下（沒有負循環），我們可以應用Dijkstra算法兩次，第一次找到最短路徑s到a ; 然后找到從b到t的最短路徑。 在這兩種情況下，都應將Dijkstra算法應用於通過刪除負邊a->b修改的圖。

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關於負循環。 如果有開始和在同一節點中結束，並且具有負成本的負周期， 即路徑，該節點是從路徑上s到t ，然后從最短路徑s到t不存在。 實際上，在這種情況下，通過多次包含負成本周期，可以使s到t的成本任意減小。

但是，可以再次使用Dijkstra算法確定圖形中是否存在這樣的循環。 請注意，由於存在單個負邊緣a->b ，因此負循環需要包含它。 因此，我們需要一條從b到a的路徑，其總成本小於a->b的權重的絕對值。 我們可以通過應用Dijkstra的算法（起始節點為b ，目的地為a來檢查是否存在這樣的路徑。 同樣，Dijkstra的算法應在刪除了a->b邊的情況下應用於圖形（我們對將其放在路徑中不感興趣），因此所有邊權重均為正。