给定有一个负边（u，v）的有向加权图，找到最短路径（s，t）

Question

给定：有向加权图G（V，E）和s,t是V顶点，除边(u,v)为负之外，所有边均为正。

问题：找到从s到t的最短路径（ 含义：权重最小 ）。

我的解决方案：嗯，因为我们有一个消极的边缘，所以我们应该使用Bellman-Ford算法。 在边缘执行n-1 “松弛”，如果在第n个迭代中存在问题，则存在一个循环-因此返回false。 否则，返回从s到t的最短路径。

另一个解决方案：使用Dijkstra，并通过保存d（u）并在负边缘（u，v）上传递并进行“松弛”来对其进行一些更改，然后在没有负边缘的情况下再次在所有边缘上移动被改变，我们有一个循环，否则一切都好，返回最短的路径。

注意：我显然不确定我的解决方案，因为存在一个负面影响这一事实很棘手，有什么想法吗？

注意2：为了使它有趣， 您不能使用Bellman-Ford 。

Answer 1

您可以使用存在单个负边缘的信息来创建有效的算法。

让我们表示作为a下降沿的源节点，和b目的节点，所以我们有下降沿a -> b 。

从节点s到节点t的路径有两种：

1. 边缘a->b不是路径的一部分；
2. 边缘a->b是路径的一部分。

我们打算找到从s到t的最短路径，我们将通过找到上述两种类型中的每一种的最短路径来做到这一点。

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沿着类型（1）的最小路径可以通过简单地将Dijkstra算法应用到删除了负边缘的修改图形上来找到。

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对于类型（2），我们现在对从s到t的最短路径感兴趣，该路径包含边a->b 。 该路径必须采用以下形式： s -> ... -> a -> b -> ... -> t 。

如果图中没有负循环，则边a->b应该在最短路径中仅出现一次（请参见此答案的最后部分，以讨论负循环）。

在这种情况下（没有负循环），我们可以应用Dijkstra算法两次，第一次找到最短路径s到a ; 然后找到从b到t的最短路径。 在这两种情况下，都应将Dijkstra算法应用于通过删除负边a->b修改的图。

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关于负循环。 如果有开始和在同一节点中结束，并且具有负成本的负周期， 即路径，该节点是从路径上s到t ，然后从最短路径s到t不存在。 实际上，在这种情况下，通过多次包含负成本周期，可以使s到t的成本任意减小。

但是，可以再次使用Dijkstra算法确定图形中是否存在这样的循环。 请注意，由于存在单个负边缘a->b ，因此负循环需要包含它。 因此，我们需要一条从b到a的路径，其总成本小于a->b的权重的绝对值。 我们可以通过应用Dijkstra的算法（起始节点为b ，目的地为a来检查是否存在这样的路径。 同样，Dijkstra的算法应在删除了a->b边的情况下应用于图形（我们对将其放在路径中不感兴趣），因此所有边权重均为正。