为了找到最短路径，如何在有向加权图中将一个边精确设置为零？

Question

以下是我正在研究的问题：

考虑一个有向加权图G ，其中所有边缘权重均为正。 这个问题的目的是在两个预先指定的顶点s和t之间找到G的最短路径，但要增加一点扭曲：允许将（选择的）一条边的权重更改为零。

换句话说，您必须在G中选择一个边沿以将其设置为零，以最小化s和t之间的最短路径。 给出一种有效的算法，以在O（E lg V）时间内实现此目标，并分析算法的运行时间。 次优解决方案将获得较少的信誉。

提示：您可能需要反转边缘，多次运行熟悉的算法，并做一些额外的工作

所以，我试图运行从s Dijkstra的所有其他节点，然后我试图逆转的边缘，从s再次运行到所有其他节点。 但是，我发现我们必须将Dijskstra从s运行到所有其他节点 ，然后反转边，然后再将Dijkstra从所有其他节点运行到t 。 我不确定这如何帮助我们找到要设置为零的边。 根据我的直觉，我认为我们可以将最大重量边设置为零。 反转边缘的意义何在？

Answer 1

我们需要运行Dijkstra的算法两次-一次是使用s作为源顶点的原始图，一次是使用反向图并且t作为源顶点的图。 我们将表示从第一次运行得到的顶点s和i之间的距离为D(i) ，从第二次运行得到的顶点t与i之间的距离为D_rev(i) 。

请注意，我们可以向后跟随反向边（即，沿原始方向跟随它们），因此D_rev(i)实际上是从顶点i到t的最短距离。 同样， D(i)是遵循Dijkstra算法的从顶点s到i的最短距离。

现在我们可以遍历所有边缘，对于连接v1和v2每个边缘e ，将D(v1)和D_rev(v2) ，这对应于路径s -> v1 -> v2 -> t的权重s -> v1 -> v2 -> t D_rev(v2) s -> v1 -> v2 -> t以e为零边，因为我们可以从s到v1且距离为D(v1) ，所以将e设置为0，从v1到v2 ，然后从v2到t的距离为D_rev(v2) 。 这些最小的答案。

粗略的证明草图（以及重述）：如果将边e设置为0，但不在路径中使用它，则最好将路径中的边设置为0。因此，我们只需要考虑包括归零边缘的路径。 通过零边e的最短路径是首先采用从s到v1的最短路径，然后采用从v2到t的最短路径，这正是使用Dijkstra算法（即D和D_rev计算D_rev 。

希望这个答案有帮助！