找到有向非負加權圖的最短路徑，避免給定子集頂點的任何頂點彼此相鄰？

Question

假設給定一個簡單的有向非負加權圖 G = (V, E) 和頂點 X ⊂ V 的子集。該圖采用鄰接表表示，子集 X 作為列表。 如何找到一種算法來計算圖中不屬於 X 的頂點 s,t 之間的短路路徑，並且每當路徑使用 X 中的兩個頂點時，這兩者之間至少有一個不在 X 中的頂點頂點？ 該算法應該在 O(m+nlogn) 時間內。

我一直在考慮這個問題，但找不到在 O(m+nlogn) 時間下的算法，知道如何解決這個問題嗎？

Answer 1

假設m = |E| 和n = |V| .

帶有斐波那契堆的 Dijkstra 算法在O(m + n log n)中運行。 所以你想在不增加最終時間復雜度的情況下考慮額外的約束。

如果查詢一個頂點是否在 X 中不能在恆定時間內完成，那么您首先需要通過在O(n)中構建一個 X 的哈希集來做到這一點。 使用此哈希集的后續查詢將在恆定時間內運行。

現在，從圖中刪除 X 中頂點對之間的邊只是添加了另一個O(m) 。 然后，您可以在刪除邊的新圖上運行 Dijkstra，整個過程只需要O(m + n log n)時間。