在有向加權圖中找到最短的頂點序列

Question

假設我有u和v個頂點，還有一些n 。

如何計算每兩個頂點之間有一條邊的最短頂點序列的長度（邊的權重之和）？

例如：

(u, e_1, u_2, e_2, ..., e_n, v)

該序列以頂點u開始，以頂點v結尾，並且具有n邊。

Answer 1

由於允許重復，因此可以通過在Bellman-Ford算法中稍作改動來在多項式時間內解決。 令OPT（v，i）表示使用i條邊達到v的最佳成本，令w（x，y）表示頂點x和y之間的權重。 然后我們有以下重復發生：

在所有邊（u，v）上，OPT（v，i + 1）= min {OPT（u，i）+ w（u，v）}。

這可以以O（nm）的自底向上的方式解決，其中m是邊的數量。 這是偽代碼。

function computeShortestPath (u, v, n):
    foreach q in vertices:
        OPT[q][0] = inf;
    OPT[u][0] = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++):
        foreach q in vertices:
            OPT[q][i] = inf;
        foreach (p,q) in edges:
            OPT[q][i] = min(OPT[q][i], OPT[p][i-1] + w[p][q]);
    return OPT[v][n];

請注意，如果不允許重復，則問題是哈密頓路徑問題的一般化，即NP-Hard。

Answer 2

這可以通過動態編程來完成。 我們首先用從節點“ u”到“ v”的輸出邊到“ v”的每個節點解決“ n-1”的問題，然后解為min(sum(sol(u,r),weight(r,v)))此算法的O（n | vertices |）。