在有向加权图中找到最短的顶点序列

Question

假设我有u和v个顶点，还有一些n 。

如何计算每两个顶点之间有一条边的最短顶点序列的长度（边的权重之和）？

例如：

(u, e_1, u_2, e_2, ..., e_n, v)

该序列以顶点u开始，以顶点v结尾，并且具有n边。

Answer 1

由于允许重复，因此可以通过在Bellman-Ford算法中稍作改动来在多项式时间内解决。 令OPT（v，i）表示使用i条边达到v的最佳成本，令w（x，y）表示顶点x和y之间的权重。 然后我们有以下重复发生：

在所有边（u，v）上，OPT（v，i + 1）= min {OPT（u，i）+ w（u，v）}。

这可以以O（nm）的自底向上的方式解决，其中m是边的数量。 这是伪代码。

function computeShortestPath (u, v, n):
    foreach q in vertices:
        OPT[q][0] = inf;
    OPT[u][0] = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++):
        foreach q in vertices:
            OPT[q][i] = inf;
        foreach (p,q) in edges:
            OPT[q][i] = min(OPT[q][i], OPT[p][i-1] + w[p][q]);
    return OPT[v][n];

请注意，如果不允许重复，则问题是哈密顿路径问题的一般化，即NP-Hard。

Answer 2

这可以通过动态编程来完成。 我们首先用从节点“ u”到“ v”的输出边到“ v”的每个节点解决“ n-1”的问题，然后解为min(sum(sol(u,r),weight(r,v)))此算法的O（n | vertices |）。