在有向无环图中查找两个节点之间的路径数

Question

我解决这个问题的想法是调整 DFS 使其在我们到达目标节点时停止，然后设置一个计数器，将起始节点的所有邻居相加，然后递归地将起始节点的邻居及其邻居相加。

我只是想知道这是否只会计算从源到目标的路径，而不计算任何不通向目标节点的杂散路径。

感谢您的帮助。

Answer 1

您可以使用动态规划。 你有一个有向无环图，所以你有一个节点（比如 s），没有指向 s 的弧。 您还有一个节点（比如 t），它没有指向 t 的弧线。 因为它是非循环的，所以您可以使用拓扑排序算法来找到节点的排序，使得每个弧都远离 s 指向 t。

所以从s开始。 从 s 到 s 的路径数为 1，即空路径。 因为该图是无环的，所以 s 必须有一个邻居 u，这样唯一指向 u 的弧就是 su。 现在你只需重复一遍。 一般来说，对于一个节点 w，它的弧从 v1,...vk 指向它。 那么从 s 到 w 的路径数就是 sv1 路径数之和，..., svk 路径数。

这是在每个节点之间的单个弧的情况下。 如果有多个弧相乘，那么它将是（v1w 弧的数量）（sv1path 的数量）+ ... +（vkw 弧的数量）（svk 路径的数量）

并且在每个步骤中，您都可以使用它是非循环的这一事实来找到节点 w，这样您就已经计算了所有 sv1 到 svk 的路径。

Answer 2

我会使用 BFS。

我们称源节点为s ，目标节点为t 。

当您从s开始 BFS 时，将找到所有长度为 1 的路径并将其放入队列。 然后，您可以获取队列的第一个元素（称为u ）并找到所有大小为 2 的路径（ s -> u -> ... ）。 对每个距离重复相同的事情，直到找到从s到t的所有长度的所有路径。

加速它的一个技巧是：在你用尽节点w所有路径后，存储从w到t路径有多少条，当另一个节点（高于w ）到达w ，你不需要重新计算所有路径。