'bottom' (⊥) 在 Haskell 函数定义中的作用是什么？

Question

我不明白bottom （ ⊥或_|_ ）在 Haskell 函数定义中所扮演的角色。

例如zip的定义将其描述为“正确的懒惰”，因为

zip [] _|_ = []

但我不清楚这与

zip [] _ = []

_|_在上述函数定义中扮演什么角色？ 特别是，它与使用_有何不同？

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更新和注意：正如优秀答案的读者会自己发现的那样，这些答案的一个关键部分，值得在这里提出，是⊥没有（并且不能），事实上，出现在 Haskell 函数定义中。 继续阅读。

Answer 1

底部本质上是说undefined的奇特代数方式。

如果你试试这个，你就会明白为什么zip的右手参数是懒惰的：

λ> zip [] undefined
[]
λ> zip undefined []
*** Exception: Prelude.undefined

这是因为undefined只有在您尝试对其进行评估时才会失败。

由于它的呈现方式，您可能会将_|_与_混淆。 我会清楚：行zip [] _|_ = []不作为模式匹配而公式，说明平等zip [] _|_和[] 也就是说，这不是有效的 Haskell 代码，而是一种表示“我不在乎第二个参数”的符号化、抽象代数方式。

在zip的定义中，您当然可以使用_ ，但这无关紧要。 您可以使用任何名称，只要它不是构造函数匹配模式，例如(Just x)或(a,b) 。 值将保持未计算状态，直到它们必须在纯代码中进行模式匹配。

您可以在此处阅读有关延迟评估的更多信息。

您可以在此处和此处阅读有关底部的更多信息。

Answer 2

我认为 OP 已经意识到这一点，但为了其他同样困惑的人的利益： zip [] _|_ = []不是实际代码！

符号_|_ （这仅仅是一个数学符号的ASCII艺术渲染⊥ ）是指底部^1，但只有当我们谈论哈斯克尔。 在 Haskell 代码中，它没有这个含义² 。

行zip [] _|_ = []是对zip实际代码属性的描述； 如果您使用第一个参数[]调用它并将任何底部值作为第二个参数传递，则结果等于[] 。 他们之所以要这么说，是因为函数f不严格的技术定义是当f ⊥不是⊥ 。

但是在定义 Haskell 函数（在代码中）时，没有_|_ （或⊥ ，或undefined ，或底部的概念）的作用。 它是不可能的模式匹配上的参数，看看它是否是⊥ ，对于一些原因，所以不存在用于实际的符号⊥在Haskell代码^3。 zip [] _|_ = []是属性的文档，它是zip定义的结果，而不是其定义的一部分。

作为对这个属性的描述zip [] _ = []是一个不太具体的声明； 它会说无论你调用什么zip [] ，它都会返回[] 。 它相当于完全相同的东西，因为zip [] ⊥可以返回非底部的唯一方法是它根本不检查它的第二个参数。 但它对非严格性的定义没有那么直接。

由于构成函数zip [] _ = []定义的一部分的代码无法与zip [] _|_ = []进行比较和对比。 它们不是替代品，第一个是有效代码，第二个不是。

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¹这是永远运行、抛出异常或以其他方式计算为正常值的表达式的“值”。

²它甚至不是有效的 Haskell 标识符，因为它同时包含“namey”字符 ( _ ) 和“operator”字符 ( | )。 所以它实际上不能是 Haskell 代码中任何意义的符号！

³ undefined通常用于⊥ ，但它更像是一个引用⊥值的变量，而不是实际事物本身。 就像如果你有let xs = [1, 2, 3]你可以使用xs来引用列表[1, 2, 3] ，但你不能将它用作匹配其他列表的模式； 尝试的模式匹配将被视为引入一个名为undefined的新变量或xs隐藏旧变量。

Answer 3

⊥ 出自数理序理论。 一个部分有序的集合有一个底部元素，表示为 ⊥，如果该元素在所有其他元素之前。 这如何进入 Haskell 文档？ 在某个时候，计算机科学家意识到考虑计算机程序（无论使用何种语言）“意味着”是有用的。 一种方法称为指称语义。 在指称语义中，编程语言中的每个术语都被分配了一个“指称”或含义，在某些数学含义领域。 例如，如果能够说

1. meaningInteger :: Integer -> mathematical integer
2. meaningList :: [a] -> possibly-infinite sequence of elements of type a

不幸的是，这在 Haskell 中不太适用，因为例如，我可以写

oops :: Integer
oops = oops

这给了我一个Integer类型的术语，但没有合理的方法将其指定为数学整数的含义。 更有趣的是，我可以写这样的东西

undefined
undefined : undefined
3 : undefined
[undefined]
let foo = undefined : 3 : undefined : foo

这些都（可以）具有相同的类型，但具有各种不同级别的不确定性。 因此，我们需要将各种未定义的事物添加到我们的含义集合中。 但是，可以根据它们的定义对它们施加偏序！ 例如3 : 4 : []比3 : 4 : undefined更3 : 4 : undefined ，也比3 : undefined : 4更明确，但后两者没有可比性。 每种类型的底部元素，其定义最少的元素，称为 ⊥。

Answer 4

对 AJFarmar 的回答嗤之以鼻，我认为这个关键点没有明确说明：

• _|_在 Haskell 代码中不是有效的文字或标识符！
• 因此， zip [] _|_ = []也不是有效代码！

这隐含在 AJFarmar 这句话的意思中：

[T]他行zip [] _|_ = []不充当模式匹配，而是一个等式，说明zip [] _|_和[]的相等性。

为了使它非常清晰， zip [] _|_ = []出现在zip定义的文档注释中。 它不是 Haskell 代码——它是用非正式的技术符号编写的英语注释，看起来有点像 Haskell 代码。 或者，换句话说，伪代码。