比较分段函数的增长

Question

我正在通过 CLRS 来加强我的理论技能。 它花了一段时间讨论如何比较两个不同的增长函数，但我想出了一个我无法解决的例子。

如果 n 是奇数，让 g1(n) = n； n ²如果 n 是偶数

如果 n 是奇数，让 g2(n) = n ² ； n 如果 n 是偶数

在长期增长方面，g1 和 g2 有什么关系？ 我想说 g1 = θ(g2)，但我不知道如何展示（证明）它。

Answer 1

很清楚：

• g1(n) 和 g2(n) 都具有 O(n ² ) 的最严上界，因此它们都可以写为 O(n ² )。

• g1(n) 和 g2(n) 都具有最严格的 O(n) 下界，因此它们都可以写为 Ω(n)。

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函数 g1(n) 和 g2(n) 的编写方式使得它们具有不同的上限和下限。 这意味着没有函数 g(n) 满足以下条件：

1. 或者， c11*g(n) < g1(n) < c12*g(n)成立；
2. 或者， c21*g(n) < g2(n) < c22*g(n)成立。

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因为对于 n 的任何函数，g1(n) 和 g2(n) 都不能表示为 θ(g(n))，因此g1(n) 不能是 θ(g2(n))，反之亦然