比较指数函数的增长率？

Question

假设我们有两个函数f（n）= 2 ^{2 n + 1}和g（n）= 2 ^{2 n} 。 我想使用两种不同的方法比较这两个函数的增长率。

方法一：计算比率

让我们定义t（n）= f（n）/ g（n）。 然后

t（n）= f（n）/ g（n）

= 2 ^{2 n +} 1/2 ^{2 n}

= 2 ^{2 n + 1-2 n}

= 2 ^{2 n}

因此，我们假设f（n）的增长快于g（n）。

方法二：使用对数

如前所述，令t（n）= f（n）/ g（n）。 现在，让我们以两边的两个日志为基础：

lg t（n）= lg（f（n）/ g（n））

= lg（2 ^{2 n +} 1/2 ^{2 n} ）

= lg 2 ^{2 n + 1} -lg ​​2 ^{2 n} ）

= 2 ^{n +} 1-2 ⁿ

现在，让我们以双方的两个日志为基础：

lg lg t（n）=（n +1）lg 2 / n lg 2

=（n + 1）/ n

忽略常数项，我们得到lg lg t（n）= 1，这是一个常数，因此f（n）和g（n）应该具有相同的增长率。

为什么使用方法二会得到错误的答案？

Answer 1

您出问题的地方：“忽略常数项”。

t（n）=（n + 1）/ n = n / n + 1 / n = 1 + 1 / n> 1

Answer 2

我认为您的错误是假设以下情况：

如果对数log f（x）/对数log g（x）是常数，则f（x）=Θ（g（x））。

这是一个简单的反例。 设f（x）= x ²和g（x）= x。 然后

日志日志f（x）=日志日志x ² =日志（2日志x）=日志2 +日志log x

和

日志日志g（x）=日志日志x

在这里，日志log f（x）和日志log g（x）只是一个常数（即log 2）不同，但是显然f（x）和g（x）以相同的速率增长并非正确。 换句话说，在取两个函数的增长率的对数后忽略常数是不安全的。

您的逻辑中还有第二个错误。 如果计算f（n）/ g（n），则得到

2 ^{2 n +1} / 2 ^{2 n}

= 2 ^{2 n + 1-2 n}

= 2 ^{2 n}

如果您两次记录此日志，则会得到

lg lg 2 ^{2 n}

= lg 2 ⁿ

= n

因此，比率的对数对数甚至不是（n +1）/ n； 取而代之的是n，它仍趋于无穷大。 这也将告诉您f（n）的增长比g（n）快得多。

希望这可以帮助！