用3个常数找到所有可能的排列

Question

因为我确信您都知道“真正的甜甜圈店问题”（ https://math.stackexchange.com/questions/223345/counting-donuts ）。 所以我才开始。

我有3个整数，所有三个都是由用户输入的。 和他们一起，我需要计算它们有多少种可能的排列。 我已经有了一些代码，它对于小整数可以正常工作，如果它们变得更大，我的工具实际上可以运行数天/小时？

递归函数来计算可能的排列：

def T(n, k, K):
if k==0: return n==0
return sum(T(n-i, k-1, K) for i in xrange(0, K[k-1]+1))

说明：

• n =瓶数
• k =箱子数量，
• K =一个箱子可容纳的最大瓶子数

每个板条箱的K都不相同，不需要填满，甚至可以为空。

因此，如您所见，我正在计算它们的数量，以在给定X个板条箱中容纳X个给定的瓶中，其中一个板条箱最多可以容纳X个瓶。

更好理解的示例：可以说，我们有：

• 7瓶（n）
• 2条箱子（k）-> [k1，k2]
• k1适合3瓶（K1） ，k2适合5瓶（K2） [k1-> 3，k2-> 5]

因此，有两种将瓶子装到板条箱中的可能性。

另一个：

• 7瓶（n）
• 3个箱子（k）-> [k1，k2，k3]
• k1适合2瓶，K2适合3瓶，K3适合4瓶

6种可能性

上面的代码计算出完美无瑕，但是当我尝试使用它时：

问题：

• 30瓶（n）
• 20箱（k）
• k1-> 1瓶（K1） ，k2-> 2瓶（K2） ，k3-> 3瓶（K3） ，k4-> 4瓶（K4） ..依此类推，直到k20-> 20瓶（K20） ，我确定您知道这个主意。

它需要永远，所以我问你；

题：

我该如何改善上述代码/功能？

Answer 1

您的问题是所进行的计算数量呈指数级增长。 但是这些计算一遍又一遍地计算同一件事。

解决方案是存储中间值AKA备注。

这是python 3.2中的一个版本，使用functools.lru_cache为您做备忘录

import functools

    def T(n, k, K):
      @functools.lru_cache(maxsize=None)
      def Tsub(n,k):
        if k==0: return n==0
        return sum(Tsub(n-i,k-1) for i in range(0, K[k-1]+1))
      return Tsub(n,k)

    print( T(7,2,[3,5]) )
    print( T(7,3,[2,3,4]) )
    print( T(30,20,list(range(20))) )

在我的计算机上，最终结果为2172723680407，并立即获得。

如果您没有python 3.2，可以这样做：

def T(n, k, K):
  cache = {}
  def Tsub(n,k):
    key = (n,k)
    if key in cache:
      return cache[key]
    if k==0:
      cache[key] = (n==0)
      return n==0
    v = sum(Tsub(n-i,k-1) for i in xrange(0, K[k-1]+1))
    cache[key] = v
    return v
  return Tsub(n,k)

print( T(7,2,[3,5]) )
print( T(7,3,[2,3,4]) )
print( T(30,20,list(range(20))) )

函数的奇怪嵌套用于解决无法将列表（ K ）存储为表键的问题。