递归和递归可枚举语言有什么区别

Question

我想知道递归和递归可枚举语言在停机和图灵机方面的区别是什么。 我知道递归可枚举语言是递归语言的一个子集，但我不确定除此之外的区别。

Answer 1

你具有R和RE之间的关系向后：R是RE的（适当的）子集。 基本上，递归语言是一种你有一个总决策者的语言。

回忆一下递归可枚举语言的定义，即存在部分决定器的语言； 也就是说，一个图灵机，输入一个字母表上的单词，它将根据您的语言正确接受/拒绝该单词，或者如果该单词不在您的语言中，它可能会永远循环。

相比之下，递归语言是一种存在总决策者的语言，即永远不会循环的语言，并且总是在接受或拒绝状态中停止。

将这两个定义放在一起，很明显递归语言也是递归可枚举的，因为总决策器也是部分决策器（它只是从不“选择”循环而不是用正确的答案停止）。

Answer 2

主要区别在于，在递归可枚举语言中，机器对语言 L 中的输入字符串停止。但对于不在 L 中的输入字符串，它可能会停止或可能不会停止。

当我们谈到递归语言时，无论机器是否接受它，它总是会停止。 如果它接受它到达（q接受）并停止。 如果不被机器接受，它直接到达（q 停止）。

Answer 3

停机问题是 RE 但非 R 问题的典型例子

在尝试拆分复杂性类时，记住一个属于一个但不属于另一个的示例总是好的。

在这种情况下，规范示例是对应于停机问题决策问题的语言：

HALT = 所有停止的图灵机/输入对

众所周知，任何图灵机都无法确定性地解决停机问题，因此 HALT 语言不在 R 中。

但 HALT 显然在 RE 中。

我们回忆一下递归可枚举语言的定义：

RE 语言是这样一种语言，它存在一个图灵机，它在输出是的每个语言成员上停止，并且可能在非成员上永远运行

所以我们只需要一个图灵机来模拟另一个图灵机（通用图灵机）。 然后该机器将在 HALT 的每个成员处停止，因此 HALT 处于 RE 中。

这个事实本身就应该突出 RE 比 R 难多少：RE 包含不可判定的问题，为此设计算法是不可能的！ R，作为其定义的直接结果，没有。

非 RE 问题

查看将两者绑定的示例也很有帮助：

• https://cs.stackexchange.com/questions/52503/non-recursively-enumerable-languages
• https://cs.stackexchange.com/questions/12747/relationship-between-undecidable-problems-and-recursively-enumerable-languages

规范示例是 HALT 的补充：所有非暂停 TM/输入对的语言。