遞歸和遞歸可枚舉語言有什么區別

Question

我想知道遞歸和遞歸可枚舉語言在停機和圖靈機方面的區別是什么。 我知道遞歸可枚舉語言是遞歸語言的一個子集，但我不確定除此之外的區別。

Answer 1

你具有R和RE之間的關系向后：R是RE的（適當的）子集。 基本上，遞歸語言是一種你有一個總決策者的語言。

回憶一下遞歸可枚舉語言的定義，即存在部分決定器的語言； 也就是說，一個圖靈機，輸入一個字母表上的單詞，它將根據您的語言正確接受/拒絕該單詞，或者如果該單詞不在您的語言中，它可能會永遠循環。

相比之下，遞歸語言是一種存在總決策者的語言，即永遠不會循環的語言，並且總是在接受或拒絕狀態中停止。

將這兩個定義放在一起，很明顯遞歸語言也是遞歸可枚舉的，因為總決策器也是部分決策器（它只是從不“選擇”循環而不是用正確的答案停止）。

Answer 2

主要區別在於，在遞歸可枚舉語言中，機器對語言 L 中的輸入字符串停止。但對於不在 L 中的輸入字符串，它可能會停止或可能不會停止。

當我們談到遞歸語言時，無論機器是否接受它，它總是會停止。 如果它接受它到達（q接受）並停止。 如果不被機器接受，它直接到達（q 停止）。

Answer 3

停機問題是 RE 但非 R 問題的典型例子

在嘗試拆分復雜性類時，記住一個屬於一個但不屬於另一個的示例總是好的。

在這種情況下，規范示例是對應於停機問題決策問題的語言：

HALT = 所有停止的圖靈機/輸入對

眾所周知，任何圖靈機都無法確定性地解決停機問題，因此 HALT 語言不在 R 中。

但 HALT 顯然在 RE 中。

我們回憶一下遞歸可枚舉語言的定義：

RE 語言是這樣一種語言，它存在一個圖靈機，它在輸出是的每個語言成員上停止，並且可能在非成員上永遠運行

所以我們只需要一個圖靈機來模擬另一個圖靈機（通用圖靈機）。 然后該機器將在 HALT 的每個成員處停止，因此 HALT 處於 RE 中。

這個事實本身就應該突出 RE 比 R 難多少：RE 包含不可判定的問題，為此設計算法是不可能的！ R，作為其定義的直接結果，沒有。

非 RE 問題

查看將兩者綁定的示例也很有幫助：

• https://cs.stackexchange.com/questions/52503/non-recursively-enumerable-languages
• https://cs.stackexchange.com/questions/12747/relationship-between-undecidable-problems-and-recursively-enumerable-languages

規范示例是 HALT 的補充：所有非暫停 TM/輸入對的語言。