整数除法算法分析

Question

对于赋值，我们需要编写除法算法，以便仅使用加法和递归来完成某个问题。 我发现，在不使用尾递归的情况下，天真的重复减法实现很容易导致堆栈溢出。 所以快速分析这个方法，如果我错了就纠正我，这表明如果你将A除以B，分别用n和m二进制数，它应该是以nm为指数。 我真的得到了

O( (n-m)*2^(n-m) ) 

因为你需要从n个二进制数字2 ^（nm）次中减去一个m二进制数字，以便将n位数字删除到n-1位数字，你需要这样做nm次来得到一个数字在重复减法除法中最多有m个数字，因此运行时应该如上所述。 再说一次，我很可能是错的，所以有人请你纠正我，如果我。 这是假设O（1）加法，因为我正在使用固定大小的整数。 我想用固定大小的整数可以说算法是O（1）。

回到我的主要问题。 我开发了一种不同的方法来执行整数除法，即使在递归使用它时，它也可以更好地工作，基于for的想法

P = 2^(k_i) + ... 2^(K_0)

我们有

A/B = (A - B*P)/B + P

该算法如下计算A/B ：

input:
    A, B

    i) Set Q = 0

   ii) Find the largest K such that B * 2^K <= A < B * 2(K + 1)

  iii) Q -> Q + 2^K

   iv) A -> A - B * 2^k

    v) Repeat steps ii) through iv) until A <= B

   vi) Return Q  (and A if you want the remainder)

由于仅使用加法的限制，我只是在每次递归调用时将B添加到自身，但是这里是我的代码没有递归并且使用移位而不是添加。

int div( unsigned int m, unsigned int n )
{
    // q is a temporary n, sum is the quotient
    unsigned int q, sum = 0;
    int i;

    while( m > n )
    {
         i = 0;
         q = n;

         // double q until it's larger than m and record the exponent
         while( q <= m )
         {
              q <<= 1;
              ++i;
         }

         i--;
         q >>= 1;         // q is one factor of 2 too large
         sum += (1<<i);   // add one bit of the quotient
         m -= q;          // new numerator
    }

    return sum;
}

我觉得sum |= (1<<i)可能更合适，以强调我正在处理二进制表示，但它似乎没有给任何性能提升并且可能使它更难理解。 因此，如果M和N分别是m和n的位数，则分析表明内循环执行M - N次，每次外循环完成m失去一位，并且它也必须完成M - N为了条件m <= n ， M - N次，所以我得到它是O（（M - N）^ 2）。

毕竟，我问我是否对算法的运行时间是否正确以及是否可以对其进行改进？

Answer 1

您的算法非常好，您对运行时间的分析是正确的，但您不需要每次都执行内部循环：

unsigned div(unsigned num, unsigned den)
{
    //TODO check for divide by zero
    unsigned place=1;
    unsigned ret=0;
    while((num>>1) >= den) //overflow-safe check
    {
        place<<=1;
        den<<=1;
    }
    for( ;place>0; place>>=1,den>>=1)
    {
       if (num>=den)
       {
           num-=den;
           ret+=place;
       }
    }
    return ret;
}

这使它成为O（MN）