基于数组的不交集数据结构的时间复杂度

Question

我在CodeChef上解决了这个问题，并进行了社论 。

这是已实现的不交集算法的伪代码：

Initialize parent[i] = i  
Let S[i] denote the initial array.

int find(int i)
    int j
    if(parent[i]==i)
                return i
    else
        j=find(parent[i])
        //Path Compression Heuristics
        parent[i]=j
        return j

set_union(int i,int j)
    int x1,y1
    x1=find(i)
    y1=find(j)
    //parent of both of them will be the one with the highest score
    if(S[x1]>S[y1])
        parent[y1]=x1
    else if ( S[x1] < S[y1])
        parent[x1]=y1

solve()
    if(query == 0)
        Input x and y
        px = find(x)
        py = find(y)
        if(px == py)
            print "Invalid query!"
        else
            set_union(px,py)
    else
        Input x.
        print find(x)

union find的时间复杂度是多少？

IMO， find的时间复杂度为O(depth) ，因此在最坏的情况下，如果我不使用路径约束，则复杂度为O（n）。 由于union还使用find ，因此它也具有O（n）的复杂度。 相反，如果我们扔出去的find来自union ，而是通过两个集合的家长union ，复杂性union是O（1）。 如果我错了，请纠正我。

如果应用路径压缩，那么时间复杂度是多少？

Answer 1

没有路径压缩：当我们使用不相交集的链表表示形式和加权联合启发式时，将发生m个MAKE-SET，UNION by rank，FIND-SET操作的序列，其中n个是MAKE-SET操作。 因此，它需要O（m + nlogn）。

仅使用路径压缩：运行时间为theta（n + f *（1 +（log（base（2（f + n））n）））），其中f为查找集操作数，n为make set操作数

结合按等级压缩和路径压缩：O（m * p（n））其中p（n）小于等于4

Answer 2

如果既不使用等级也不使用路径压缩，则并集和查找的时间复杂度将是线性的，因为在最坏的情况下，有必要在每个查询中遍历整个树。

如果仅按等级使用联合，而没有路径压缩，则复杂度将是对数的。
详细的解决方案很难理解，但是基本上您不会遍历整个树，因为只有当两组的秩相等时，树的深度才会增加。 因此，每个查询的迭代次数将为O（log * n）。

如果使用路径压缩优化，则复杂度会更低，因为它可以“拉平”树，从而减少遍历。 您可以在此处阅读，它每次操作的摊销时间甚至比O（n）还要快 。