基於數組的不交集數據結構的時間復雜度

Question

我在CodeChef上解決了這個問題，並進行了社論 。

這是已實現的不交集算法的偽代碼：

Initialize parent[i] = i  
Let S[i] denote the initial array.

int find(int i)
    int j
    if(parent[i]==i)
                return i
    else
        j=find(parent[i])
        //Path Compression Heuristics
        parent[i]=j
        return j

set_union(int i,int j)
    int x1,y1
    x1=find(i)
    y1=find(j)
    //parent of both of them will be the one with the highest score
    if(S[x1]>S[y1])
        parent[y1]=x1
    else if ( S[x1] < S[y1])
        parent[x1]=y1

solve()
    if(query == 0)
        Input x and y
        px = find(x)
        py = find(y)
        if(px == py)
            print "Invalid query!"
        else
            set_union(px,py)
    else
        Input x.
        print find(x)

union find的時間復雜度是多少？

IMO， find的時間復雜度為O(depth) ，因此在最壞的情況下，如果我不使用路徑約束，則復雜度為O（n）。 由於union還使用find ，因此它也具有O（n）的復雜度。 相反，如果我們扔出去的find來自union ，而是通過兩個集合的家長union ，復雜性union是O（1）。 如果我錯了，請糾正我。

如果應用路徑壓縮，那么時間復雜度是多少？

Answer 1

沒有路徑壓縮：當我們使用不相交集的鏈表表示形式和加權聯合啟發式時，將發生m個MAKE-SET，UNION by rank，FIND-SET操作的序列，其中n個是MAKE-SET操作。 因此，它需要O（m + nlogn）。

僅使用路徑壓縮：運行時間為theta（n + f *（1 +（log（base（2（f + n））n）））），其中f為查找集操作數，n為make set操作數

結合按等級壓縮和路徑壓縮：O（m * p（n））其中p（n）小於等於4

Answer 2

如果既不使用等級也不使用路徑壓縮，則並集和查找的時間復雜度將是線性的，因為在最壞的情況下，有必要在每個查詢中遍歷整個樹。

如果僅按等級使用聯合，而沒有路徑壓縮，則復雜度將是對數的。
詳細的解決方案很難理解，但是基本上您不會遍歷整個樹，因為只有當兩組的秩相等時，樹的深度才會增加。 因此，每個查詢的迭代次數將為O（log * n）。

如果使用路徑壓縮優化，則復雜度會更低，因為它可以“拉平”樹，從而減少遍歷。 您可以在此處閱讀，它每次操作的攤銷時間甚至比O（n）還要快 。