使用不相交集數據結構，圖論

Question

我正在練習解決空閑時間的編程問題。 我前段時間發現這個問題但仍然不知道如何解決它：

對於具有n個頂點和m個邊（小於2×10 ⁶ ）的給定無向圖，我需要將其頂點分成盡可能多的組，但是有一個條件：來自不同組的每對頂點通過邊連接。 每個頂點恰好在一個組中。 最后，我需要知道每個組的大小。

當我提出這個解決方案時，我感到很自豪：考慮原始圖的補充圖並使用Disjoint-set數據結構。 它給了我們正確的答案（不難證明）。 但這只是理論上的解決方案。 在給定的約束下，它非常非常糟糕，不是最優的。 但我相信這種方法可以巧妙地修復。 但是怎么樣？

有人可以幫忙嗎？

編輯：對於頂點為1到7和16個邊的圖：

1 3

1 4

1 5

2 3

3 4

4 5

4 7

4 6

5 6

6 7

2 4

2 7

2 5

3 5

3 7

1 7

我們有3組大小：1,2和4。

這些組分別為：{4}，{5,7}，{1,2,3,6}。 有連接不同組的每對頂點的邊，我們無法創建更多組。

Answer 1

我認為你唯一缺少的是如何處理稀疏圖。

讓我們從找到最大可能的完整圖表的角度考慮這一點，我可以做的唯一操作是將一組節點（比如v_1，...，v_k）組合在一起，並將新的超級節點邊緣僅提供給那些節點u連接到所有 V_1，...，V_K的。

如果圖形的邊數小於n ^ 2/4，則隨機采樣n節點對，注意哪些對未通過邊連接。 Union-find是一種簡單的編碼方式。 現在使用此隨機采樣找到的集合作為組重建圖形。 遞歸這個縮小的圖表。 （我不太清楚如何分析這一步驟，但我相信每個樣本重建周期都會將圖形大小至少降低一個常數因子，因此整個過程需要接近線性的時間。）

一旦你有一個相當密集的圖形（至少n ^ 2/4邊緣），你可以轉換為鄰接矩陣表示並完全按照你的建議 - 檢查所有節點對，每當你看到兩個節點時做一個聯合沒有邊緣連接，並讀取集合。