这种推理确定上限有什么问题？

Question

我在算法类中得到了一个问题

is 2^{2n} upper bounded by  O(3^n)?

现在明确2 ^ 2n是4 ^ n，并且4 ^ n不能被3 ^ n上限。

但是，如果我在两侧登录

On LHS I get 2n
On RHS I get kn (where k is some constant)

2n可以在kn的上限，因此它与上面更明显的主张相矛盾。 我在这个推理中做错了什么？

Answer 1

从本质上讲，你的推理归结为这句话：

如果对于某个常数c，log f（n）≤clogg（n），则f（n）= O（g（n））。

不过，这句话通常不是一个真实的陈述。 一种看待这种情况的方法是找到一些反例：

• 如果f（n）= n ⁴且g（n）= n，则log f（n）= 4 log n且log g（n）= log n。 确实，log n的倍数大于4 log n，但n ⁴ ≠O（n）。

• 如果f（n）= 4 ⁿ且g（n）= 2 ⁿ ，则log f（n）= 2n且log g（n）= n。 n的倍数使其大于2n，但是4 ⁿ ≠O（2 ⁿ ）。

要真正理解为什么这不起作用，请注意c log g（n）= log g（n） ^c ，因此将log乘以常量相当于将原始函数提升到某个大功率。 你可以通过将函数乘以常数来推理函数的大O，但是你不能通过将函数提高到一定的幂来推理它，这就是为什么这个推理破坏了。