R / BlackScholesMerton模型中的非线性方程组的求解

Question

我正在编写Masters最终项目，其中使用Black Scholes Merton模型推导了违约概率，但我陷入了R代码中。 在数学上，我想使用nleqslv软件包解决此非线性方程组：

library(nleqslv)
T <- 1
D1 <- 20010.75
R <- 0.8516
sigmaS <- .11
SO1 <- 1311.74
fnewton <- function(x){
  y <- numeric(2)
  d1 <- (log(x[1]/D1)+(R+x[2]^2/2)*T)/x[2]*sqrt(T)
  d2 <- d1 - x[2]*sqrt(T)
  y[1] <- SO1 - (x[1]*pnorm(d1) - exp(-R*T)*D1*pnorm(d2))
  y[2] <- sigmaS*SO1 - pnorm(d1)*x[2]*x[1]
  y
}

xstart <- c(1311.74,0.11)
nleqslv(xstart, fnewton, method="Broyden")
# $x
# [1] 1311.74    0.11

# $fvec
# [1] 1311.7400  144.2914

# $termcd
# [1] 6

# $message
# [1] "Jacobian is singular (see allowSingular option)"

# $scalex
# [1] 1 1

# $nfcnt
# [1] 0

# $njcnt
# [1] 1

# $iter
# [1] 1

我已经尝试使用5个输入的许多值来进行此操作（如上所述，我已经为2家公司计算了不同的年份），但是我没有得到S0和sigma V的最终值。我收到的消息是"Jacobian is singular (see allowSingular option)"如果我使用” control = list（trace = 1，allowSingular = TRUE）“允许使用奇异的Jacobean，则也不会显示任何答案。 我现在不知道如何获得这两个变量的解决方案。

我真的不知道，当我将模型定位于Teterevas幻灯片时（在第5张幻灯片上是她的模型代码），我做错了什么，谁演示的是googeling https://www.google.de/的第一个结果搜索？q = moodys + KMV + in + R＆rlz = 1C1SVED_enDE401DE401＆aq = f＆oq = moodys + KMV + in + R＆aqs = chrome.0.57.1​​3309j0＆sourceid = chrome＆ie = UTF-8＃q = distance + to + default + in + R + q = distance + to + default + in + R和我一样，尽管成功得多，她还是通过Black Scholes Merton方法计算了“违约距离”风险度量。 在此模型中，权益价值（通常由市值表示，> SO1）可以写为欧洲看涨期权。

其他变量是：

x[1]: the variable I want to derive, value of total assets   
x[2]: the variable I want to derive, volatility of total assets    
D1: the book value of debt (19982009)    
R: a riskfree interest rate   
T: is set to 1 year (time)    
sigmaS: estimated (historical) equity volatility

Answer 1

您应该能够将SO1和sigmaS初始值用作nleqslv的初始值。

首先，Tetereva给出的R代码似乎不太正确（变量Z应该像您所命名的那样为D1 ；对她的S0和D进行类似的更改）。 我已经将Tetereva修改为：

library(nleqslv)
T <- 1
D1 <- 33404048
R <- 2.32
sigmaS <- .02396919
SO1 <- 4740291  # Ve?
fnewton <- function(x){
  y <- numeric(2)
  d1 <- (log(x[1]/D1)+(R+x[2]^2/2)*T)/x[2]*sqrt(T)
  d2 <- d1 - x[2]*sqrt(T)
  y[1] <- SO1 - (x[1]*pnorm(d1) - exp(-R*T)*D1*pnorm(d2))
  y[2] <- sigmaS*SO1 - pnorm(d1)*x[2]*x[1]
  y
}

xstart <- c(SO1,sigmaS)

nleqslv(xstart, fnewton, method="Broyden",control=list(trace=1)) 
nleqslv(xstart, fnewton, method="Newton",control=list(trace=1))

这将提供Tetereva提供的解决方案。 （我在这里使用trace=1只是为了检查迭代步骤。）

我相信您给R的值应该是8.516，而不是其他。 使用您的值作为参数

T <- 1
D1 <- 20010.75
R <- 8.516  # modified
sigmaS <- .11
SO1 <- 1311.74

像这样

xstart <- c(1311.74,0.11)
nleqslv(xstart, fnewton, method="Broyden")
nleqslv(xstart, fnewton, method="Newton")

然后，使用这些值运行nleqslv很快收敛。 如果使用R <- 2.32 -2.32（例如Tetereva）， nleqslv也将收敛，尽管迭代次数更多。

我不能帮助您确定R应该是多少，但是根据Tetereva的介绍，我认为R是百分比。 由于我对Black-Scholes模型没有足够的了解，因此对于找出各种参数的正确值没有任何帮助。 由你决定。