解决R中的非线性方程组

Question

假设我有以下方程组：

a * b = 5
sqrt(a * b^2) = 10

如何解决R中a和b的这些方程式？

我猜这个问题可以说是一个优化问题，具有以下功能...？

fn <- function(a, b) {

    rate <- a * b
    shape <- sqrt(a * b^2)

    return(c(rate, shape) )

}

Answer 1

使用此库。

library("nleqslv")

您需要定义要求解的多元函数。

fn <- function(x) {

  rate <- x[1] * x[2] - 5
  shape <- sqrt(x[1] * x[2]^2) - 10

  return(c(rate, shape))

}

那你很好。

nleqslv(c(1,5), fn)

始终查看详细结果。 数值计算可能很棘手。 在这种情况下，我得到了：

Warning message:
In sqrt(x[1] * x[2]^2) : NaNs produced

这仅意味着该程序搜索了一个包含x[1] < 0的区域，然后大概将点头点回到了平面的右侧。

Answer 2

在评论中，发帖人特别询问如何使用solve和optim因此我们展示了如何手动解决（1），（2）使用solve ，（3）使用optim和（4）定点迭代。

1）手工首先要注意的是，如果我们根据第一个方程式写a = 5/b并将其代入第二个方程式，则得到sqrt(5/b * b^2) = sqrt(5 * b) = 10因此b = 20和a = 0.25。

2）解决关于使用solve这些方程可以通过取两侧给人日志转化成线性形式：

log(a) + log(b) = log(5)
0.5 * (loga + 2 * log(b)) = log(10)

可以表示为：

m <- matrix(c(1, .5, 1, 1), 2)
exp(solve(m, log(c(5, 10))))
## [1]  0.25 20.00

3）优化使用optim我们可以将fn写入问题中。 通过减去方程式的RHS并使用crossprod来形成平方和，从而形成fn2 。

fn2 <- function(x) crossprod( fn(x[1], x[2]) - c(5, 10))
optim(c(1, 1), fn2)

给予：

$par
[1]  0.2500805 19.9958117

$value
[1] 5.51508e-07

$counts
function gradient 
      97       NA 

$convergence
[1] 0

$message
NULL

4）定点为此，我们以定点形式（即c（a，b）= f（c（a，b））形式）重写方程，然后进行迭代。 通常，有几种方法可以做到这一点，但并非所有方法都可以收敛，但是在这种情况下，这似乎可行。 我们对a和b都使用1的起始值，并将第一个方程的两边除以b得到定点形式的第一个方程，然后将第二个方程的两边除以sqrt(a)来得到第二个方程。定点形式：

a <- b <- 1  # starting values
for(i in 1:100) {
  a = 5 / b
  b = 10 / sqrt(a)
}

data.frame(a, b)
##      a  b
## 1 0.25 20