n ** n ** n启发式Python

Question

我只是玩Python并发现了一件有趣的事情：我的电脑（i5,3 GHz）在试图计算10 ** 10 ** 10几个小时后才挂出。 我知道Math不是为Python创建的目的，但我想知道是不是有办法帮助Python计算它。

到目前为止我所观察到的是： n ** (2** lg(n**n))比n ** n ** n快2倍

n = 8 ** (8 ** 8)
n2 = 8 ** (2 ** 24)
# measured by timeit
> 4.449993866728619e-07
> 1.8300124793313444e-07

---

1）有没有人知道如何以最复杂的方式解决n ** n ** n ？

2）生成器可以帮助减少内存滥用吗？

Answer 1

10 ** 10 ** 10是一个非常大的数字 。 Python正在尝试分配足够的内存来表示该数字。 10.000.000.000（100亿）位数比计算机一次性提供的内存要多得多，因此您的计算机现在将内存交换到磁盘以腾出空间，这就是为什么现在的速度非常慢。

为了说明，尝试在一些适合的数字上使用sys.getsizeof() ：

>>> import sys
>>> sys.getsizeof(10 ** 10 ** 6)
442948
>>> sys.getsizeof(10 ** 10 ** 7)
4429264

所以额外的数字需要大约 10倍的内存。 以上金额以字节为单位，因此100万位数字几乎占用半兆字节，1000万位数字占4兆字节。 在Extrapoliting中，您的号码需要4 GB的内存。 这取决于你的操作系统和硬件，如果Python甚至会给予那么多的内存。

Python在现代平台上以30位的增量存储整数; 所以每30位需要额外的4个字节的存储空间。 对于100亿个数字(log2(10 ** 10 ** 10) / 30 * 4) / (1024 ** 3) ==约4.125GiB。

你不能使用Python来表示这么大的数字。 甚至浮点数也不会达到那么高：

>>> 10.0 ** 10 ** 10
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: (34, 'Result too large')

我对Python中的bignum（大数字）处理并不熟悉; 也许gmpy libray有能力代表更好的数字。

Answer 2

如果整数精度不是最重要的，则可以使用float

>>> 3**3**3
7625597484987
>>> 3.**3.**3.
7625597484987.0

但是，对于较大的值，这些将很快达到其极限：

>>> 5.**5.**5.
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: (34, 'Numerical result out of range')

decimal可以得到更高的值：

>>> import decimal
>>> d = decimal.Decimal
>>> d(5)**d(5)**d(5)
Decimal('1.911012597945477520356404560E+2184')
>>> d(10)**d(10)**d(8)
Decimal('1.000000000000000000000000000E+100000000')

默认情况下，即使是那些也不能代表10**10**10 ：

>>> d(10)**d(10)**d(10)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/lib/python2.7/decimal.py", line 2386, in __pow__
    ans = ans._fix(context)
  File "/usr/lib/python2.7/decimal.py", line 1676, in _fix
    ans = context._raise_error(Overflow, 'above Emax', self._sign)
  File "/usr/lib/python2.7/decimal.py", line 3872, in _raise_error
    raise error(explanation)
decimal.Overflow: above Emax

但这些限制并不固定。 使用getcontext()可以使它们尽可能大：

>>> decimal.getcontext().Emax = 1000000000000
>>> d(10)**d(10)**d(10)
Decimal('1.000000000000000000000000000E+10000000000')

但请记住，这些数字并不是最后一位数字的100％精确度（您的计算机可能甚至没有足够的内存来存储每个数字），所以如果发生这种情况，请不要感到惊讶：

>>> d(10)**d(10)**d(10) == d(10)**d(10)**d(10) + 1000000
True