从球体上的 3d 点计算 RPY（滚动俯仰偏航）

Question

我需要一种方法来找到一组描述球体中位置和方向的齐次变换矩阵。

这个想法是我在这个球体的中心有一个物体，它的半径为 dz。 因为我知道对象的 3d 坐标，所以我知道球体的所有 3d 坐标。 是否可以确定球体上任何点的 RPY，使得该点始终指向中心的物体？

插图：

在这个球体的原点，我们有一个对象。 球体的半径为 dz。 红点是球体上的一个点，以及从这个点到物体/原点的向量。

位置应该相对容易提取，因为一个球体可以用一个函数来描述，但是我如何确定指向原点的向量或旋转矩阵。

Answer 1

您可以使用球体的中心作为原点，计算由原点到球体边缘上的点所形成的直线的单位向量，然后将该单位向量乘以 -1 以获得指向该点的向量从球体边缘的点到球体的中心。

例子：

vec pointToCenter(Point edge, Point origin) {
    vec norm = edge - origin;

    vec unitVec = norm / vecLength(norm);

    return unitVec * -1;
}

一旦你有你可以将其转换为RPY欧拉角载体，一个例子是在这里

Answer 2

在我的头顶，我建议使用四元数来定义原点处任何点的旋转，相对于球体表面上你想要的点：

在球体表面选择所需的点，例如北极
使用 3D 勾股法将该点平移到原点（假设球体的半径已知）：x_comp^2 + y_comp^2 + z_comp^2 = 斜边^2
创建将轴指向原始曲面点的旋转。 这只是构成斜边的 x、y 和 z 分量的缩放倍数。 我会把它做成单元组件。 在四元数 (q, x, y, z) 中捕获生成的轴和旋转，其中 x, y, z 是轴的分量，q 是绕该轴的旋转。 硬编码 q 到 1。 你想使用四元数，因为它会让你的旋转矩阵更容易使用
将点转换回球体的表面并取反轴分量的值，以获得 (q, -x, -y, -z)。
这将为您提供球体表面上的点，轴指向原点。 以北极为例，您将在球体表面上的点 (0, radius_length, 0) 处有一个 (1, 0, -1, 0) 的四元数。 有关生成的旋转矩阵，请参阅我下面的 github 存储库中的 quatrotation.c。

我没有时间为此编写代码，但不久前我在 github 存储库中编写了一个带有可编译代码示例的小教程，这应该可以帮助您入门：

先做 mat_rotation 教程，然后做 quatereons 一。 如果您专心，则可以在周末或一天内完成。