为乔姆斯基范式的语言构建上下文无关文法

Question

我正在尝试以 Chomsky Normal Form 构建一个 CFG，并尽可能少地接受包含唯一字符串 a^21 的语言。

我知道我可以转换

S -> AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA -> a

但是有没有其他方法可以缩短该语言然后将其转换为乔姆斯基范式？

Answer 1

我们可以很容易地证明，我们至少需要六个符号才能为这种语言生成 CNF 中的 CFG，方法是认识到我们最多可以在每次产生时将生成的字符串长度加倍，而且我们必须从 2^0 开始：

A_21 := ...
A_16 := A_16 A_16
A_8  := A_4  A_4
A_4  := A_2  A_2
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

然后我们可以证明 CNF 中没有语法，有六个产生式来生成我们的目标语言。 我们通过自下而上构建语法来开始论证。

1. 我们必须有A_1 := a来获取任何字符串。
2. 我们必须有A_2 := A_1 A_1才能得到长度大于 1 的任何字符串。
3. 我们现在可以生成A_3或跳过它并生成A_4 ，或两者兼而有之。 我们将在下面考虑这些情况。

案例 1： A_3

1. 我们添加A_3 := A_2 A_1 。
2. 我们已经有 3 个作品，并且知道我们需要A_21 := XY形式A_21 := XY 。 所以我们最多可以添加两个。 即使我们添加了现在可能的最大产生式 - A_6和A_12 - 我们也不能按要求产生A_21 （我们最多可以产生A_18 := A_6 A_12 。所以添加A_3不能得到我们生成我们语言的语法在六个制作中。

案例 2： A_4

1. 我们添加A_4 := A_2 A_2 。
2. 我们已经有 3 个作品，并且知道我们需要A_21 := XY形式A_21 := XY 。 所以我们最多可以添加两个。 我们目前的选项是A_5 、 A_6和A_8 。 A_5和A_6将失败，原因与我们针对上述案例 1 所述的原因相同。 然而， A_8不会因为这个推理而失败，所以我们添加A_8 := A_4 A_4 。
3. 我们现在只有一个产品，需要它是A_20, A_19, A_17或A_13 。 我们无法使用我们现有的作品生成任何这些。

因此，我们排除了具有 6 个产生式的语法。 如果您尝试使用上述推理找到具有 7 个产生式的语法，您会找到几个。 既然我们知道 CNF 中有 7 个产生式的语法，而没有 6 个产生式，那么您就完成了。 以下是 7 个产生式语法中的一些：

S    := A_18 A_3
A_18 := A_9  A_9
A_9  := A_6  A_3
A_6  := A_3  A_3
A_3  := A_2  A_1
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_17 A_4
A_17 := A_9  A_8
A_9  := A_8  A_1
A_8  := A_4  A_4
A_4  := A_2  A_2
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_16 A_5
A_16 := A_8  A_8
A_8  := A_4  A_4
A_5  := A_4  A_1
A_4  := A_2  A_2
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_15 A_6
A_15 := A_9  A_6
A_9  := A_6  A_3
A_6  := A_3  A_3
A_3  := A_2  A_1
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_14 A_7
A_14 := A_7  A_7
A_7  := A_4  A_3
A_4  := A_3  A_1
A_3  := A_2  A_1
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_13 A_8
A_13 := A_8  A_5
A_8  := A_5  A_3
A_5  := A_3  A_2
A_3  := A_2  A_1
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_12 A_9
A_12 := A_9  A_3
A_9  := A_6  A_3
A_6  := A_3  A_3
A_3  := A_2  A_1
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

S    := A_11 A_10
A_11 := A_10 A_1
A_10 := A_8  A_2
A_8  := A_4  A_4
A_4  := A_2  A_2
A_2  := A_1  A_1
A_1  := a

还有更多。 困难的部分是显示没有任何 6 个作品。