证明NP完整性

Question

给定图形的任意两个顶点之间的m个最短路径。 确定我们是否可以选择k个最短路径，使其联合覆盖所有边缘。

我确信减少必须来自封面，但我没有办法如何将其减少到这个问题。 请帮帮我

Answer 1

提示：请看下面的图表。 从A到B有很多不同的最短路径。你能用这样的图形和一组路径编码集合覆盖吗？ （好吧，你可能需要稍微修改图表，但这是一般的想法）。

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A     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     B
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   o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o     o

Answer 2

更新不知道集合封面也是NP完全的。 没有必要做任何事情来使原件适合精确的套装，所以我做的wlog假设是没有必要的。 但我也意识到我的证据的基本思想是错误的 ：它表明当前问题是另一个问题的一个特例，这使得它更容易，而不是更难。 完整而正确的答案由mjqxxxx在https://math.stackexchange.com/q/2047262上给出。

让我们的wlog假设没有单个顶点属于多于1个路径（即路径对应于不同的顶点集）。

然后 这个问题是一个 精确的 覆盖问题（NP完全） 扩展到找到所有精确的覆盖而不是只有任何一个（然后检查其中一个是否有精确的 k元素 - 这个检查一般有点棘手）案件）。 https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_cover https://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem

集合X包含图形的所有顶点，集合S包含与给定路径集合对应的顶点集合。