显示不相交哈密顿路径的np-完备性

Question

考虑不相交的哈密顿路径问题：

输入：可以是有向或无向的图

输出：该图是否至少存在2条边缘不相交的哈密顿路径？ 边不相交意味着两条路径不会共享任何一条边。

证明不相交的哈密顿路径是np-完整的。

有人告诉我这个问题是np完全的，但我无法证明它是np困难的。 我试图将原始的汉密尔顿路径和汉密尔顿周期简化为该问题，但我想不出解决方案。

Answer 1

我想出了以下简化方法，不确定是否最简单，但是很简单。

假设G是与HP实例相对应的无向图。 现在，通过以下方式构造一个新图G'：

• 保留G中的每个顶点。
• 对于G中的每个边（u，v），创建4个附加顶点并按以下方式连接它们：

现在很容易看出，如果G具有哈密顿路径，则G'将具有两条不相交的哈密顿路径，因为每个边都被本身具有两条不相交的哈密顿路径的某个子图所代替（走直线或采用弯曲的边）。 如果G'具有HP，那么G也是如此，因为一旦输入与原始边缘之一相对应的子图，您别无选择，只能从另一端退出，这相当于在G中取得原始边缘。可能出现的唯一“问题”是，如果路径是在这些子图中的一个子图的内部开始或结束，但是我们可以忽略路径中的一小部分，而仍然获得G的HP。

并注意，G'具有HP => G具有HP => G'具有两个边缘不相交的HP。 因此，G具有HP <=> G'具有两个边缘不相交的HP。

转换显然可以在多时间完成，因此您的问题是NP-Hard。

有向情况是相似的，只是相应地引导变换后的图中的边。