O(N) 速度和 O(1) 内存的汉明数

Question

免责声明：关于它有很多问题，但我没有发现任何需要恒定内存的问题。

汉明数是一个数2^i*3^j*5^k ，其中 i, j, k 是自然数。

是否有可能用 O(N) 时间和 O(1)（恒定）内存生成第 N 个汉明数？ 在 generate 下，我的意思是生成器，即您只能输出结果而不能读取先前生成的数字（在这种情况下，内存将不固定）。 但是你可以保存一些常量。

我看到只有具有恒定内存的最佳算法并不比 O(N log N) 好，例如，基于优先级队列。 但是有没有数学证据表明不可能在 O(N) 时间内构造一个算法？

Answer 1

这里要考虑的第一件事是直接切片枚举算法，例如可以在这个 SO answer 中看到，枚举序列成员的给定对数值（以2为底）附近的三元组(k,j,i)以便target - delta < k*log2_5 + j*log2_3 + i < target + delta ，在选择j和k同时逐步计算累积对数，以便直接知道i 。

因此，它是一个N ^2/3时间算法，一次产生N ^2/3宽的序列切片（ k*log2_5 + j*log2_3 + i接近目标值，所以这些三元组形成了填充有汉明序列三元组¹ ) 的四面体，这意味着每个产生的数字O(1)时间，从而在O(N)分摊时间和O(N ^2/3 )空间中产生N 个序列成员。 这与具有相同复杂度的基线 Dijkstra 算法²相比没有任何改进，即使是非摊销且具有更好的常数因子。

为了使它成为O(1)空间，随着我们沿着序列前进，地壳宽度将需要变窄。 但是地壳越窄，在枚举它的三元组时就会有越来越多的失误——这几乎就是你要求的证据。 恒定切片大小意味着每个O(1)切片的O(N ^2/3 )工作量，对于整体O(N ^5/3 )分摊时间， O(1)空间算法。

这些是此频谱上的两个端点：从N ^{1 次}， N ^{2/3 次}空间到N ^{0 次}空间， N ^{5/3 次}，摊销。

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¹这是来自 Wikipedia 的图像，具有对数垂直刻度：

从侧面看，这本质上是汉明序列三元组(i,j,k)在空间中拉伸为(i*log2, j*log3, k*log5) 。 图像有点歪，如果它是真正的 3D 图片。

编辑： ²似乎我忘记了切片必须排序，因为它们是由j,k枚举乱序生成的。 这将通过切片算法按顺序生成序列的N 个数字的最佳复杂度更改为O(N ^2/3 log N)时间， O(N ^2/3 )空间，并使 Dijkstra 算法成为赢家。 对于O(1)切片，它不会改变O(N ^5/3 )时间的上限。