是O（n ^ 2）还是O（1）？

Question

这种独特的字符串函数的执行时间是否比单纯的O（n ^ 2）方法减少了？

这个问题有很多有趣的讨论，使我想知道我们是否对算法设置一些阈值，这会改变Big-O运行时间的复杂性吗？ 例如：

void someAlgorithm(n) {
    if (n < SOME_THRESHOLD) {
         // do O(n^2) algorithm
    }
}

是O（n ² ）还是O（1）。

Answer 1

这将是O(1) ，因为有一个常数，因此无论输入多大，您的算法都会在小于该常数的时间内完成。

从技术上讲，它也是O(n^2) ，因为存在一个常数c ，无论您输入的内容多大，您的算法都将在c * n ^ 2时间单位内完成。 由于big-O为您提供了上限，所以O(1)内容也都是O(n^2)

Answer 2

如果SOME_THRESHOLD是常数，则您已对函数的增长进行了硬编码f(x) = O (g(x)) （ f(x) = O (g(x))给出了g(x)在f(x) ）。

按照惯例，某些常数k O(k)只是O(1)因为我们不在乎常数因子。

请注意，至少从理论上讲，下界是未知的，因为我们对O(n^2)函数的下界一无所知。 我们知道对于f(x) = Omega(h(x)) ， h(x) <= 1因为f(x) = O(1) 。 尽管实际上h(x) = 1 ，所以f(x) = Omega(1) ，但理论上少于恒定时间的函数是可能的。

这意味着通过在函数上施加一个恒定的上限，该函数现在具有一个严格的边界： f(x) = Theta(1) 。