O（1）+ O（2）+ ... + O（n）的阶数之和

Question

总和O(1)+O(2)+ .... +O(n)评估为什么？

我在其编写的某个地方看到了它的解决方案：

O(n(n+1) / 2) = O(n^2)

但是我对它不满意因为O(1) = O(2) = constant ，所以据我说它必须只评估为O(n) 。 我在Cormen也见过这个：

Σ(i=1 to n) O(i)

在上面的表达式中，只有一个匿名函数。 此功能与O(1) + O(2) + ... + O(n) ，它实际上没有清晰的解释。

Answer 1

这个问题似乎完全是主题，因为有一个标签asymptotic_complexity ...

根据CLRS ，p。 49，

“表达式中匿名函数的数量被理解为等于渐近符号出现的次数。例如，在表达式中

sum（O（i），i = 1..n）

只有一个匿名函数（i的函数）。 因此，这个表达式与O（1）+ O（2）+ ... + O（n）不同，它实际上没有一个干净的解释“

实际上，在你的公式中，“O”符号背后的常数可能都是不同的，它们的增长可能会改变整个总和的渐近行为。 别写这个！

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为了更完整地回答你的问题，总和（O（i），i = 1..n），你可以使用这一事实（参见GKP第450页，以下内容）

O（f（n）g（n））= f（n）O（g（n））

因此，O（i）= i O（1），这次在公式中使用相同的O（1）。 因此，

sum（O（i），i = 1..n）= sum（i，i = 1，n）O（1）

= n（n + 1）/ 2 O（1）= O（n ^ 2）

这样你就可以毫无困难地消除你的金额。

Answer 2

按照Big-Oh表示法的定义。

你有n函数f_i ，每个函数都满足

a_i * i <= f_i(x) <= b_i * i; x > X_i

对于一些正常数a_i, b_i和足够大的X_i 。 设X = max_i ( X_i )并求n不等式得到

sum_i=1..n ( a_i * i ) <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <= sum_i=1..n ( b_i * i )

注意到这一点

sum_i=1..n ( min(a_i) * i ) <= sum_i=1..n ( a_i * i )
sum_i=1..n ( b_i * i )      <= sum_i=1..n ( max(b_i) * i )

到达

    min(a_i) * 0.5*(n(n-1))  <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <= max(b_i) * 0.5*(n(n-1))
<=>       A       * (n(n-1)) <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <=        B      *(n(n-1))

因此，您开始使用的函数之和实际上是O(n^2) 。

Answer 3

确定，O（1）和O（2）是一个常数，所以我们可以忘记它们。 但是O（n / 2）是常数，我猜不是。 所以尝试（为你的功课）只计算后半部分：

O(n/2) + O(n/2+1) + ... O(n) = ??

你会想出O(n^2) :)

Answer 4

有一个技巧找到公式，真的不那么难。

你有：1 + 2 + 3 + 4 + .... + n

如果您对列表进行两次计数（一次从低到高从高到低排序一次，则得到两倍的结果）

（（1 + 2 + 3 + 4 + ... + n）+（n +（n - 1）+（n - 2）... + + 2 + 1））/ 2

这是一样的

（（1 + n）+（2 + n - 1）+（3 + n - 2）+ ... +（n + 1））/ 2

这是：

（（n + 1）* n）/ 2

或者我们正确的观念O（n²）。