R - 具有预定义的min，max，mean和sd值的随机分布

Question

我想生成具有预定义的min，max，mean和sd值的10,000个数字的随机分布。 我已按照此链接设置rnorm中的上限和下限，以获得具有固定最小值和最大值的随机分布。 但是，在这样做时，平均值会发生变化。

例如，

#Function to generate values between a lower limit and an upper limit.
mysamp <- function(n, m, s, lwr, upr, nnorm) {
set.seed(1)
samp <- rnorm(nnorm, m, s)
samp <- samp[samp >= lwr & samp <= upr]
if (length(samp) >= n) {
return(sample(samp, n))
}  
stop(simpleError("Not enough values to sample from. Try increasing nnorm."))
} 
Account_Value <- mysamp(n=10000, m=1250000, s=4500000, lwr=50000, upr=5000000, nnorm=1000000)
summary(Account_Value)

# Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
# 50060 1231000 2334000 2410000 3582000 5000000
#Note - though min and max values are good, mean value is very skewed for an obvious reason.
# sd(Account_Value) # 1397349

我不确定我们是否可以生成满足所有条件的随机正态分布。 如果有任何其他类型的随机分布可以满足所有条件，请分享。

期待您的投入。

-谢谢。

Answer 1

讨论：

你好。 这是非常有趣的问题。 需要付出相当大的努力才能正确解决，并不总能找到解决方案。

首先，当您截断分布（为其设置最小值和最大值）时，标准偏差是有限的（具有最大值取决于最小值和最大值）。 如果你想要它太大的价值 - 你无法得到它。

第二个限制限制意味着 很明显，如果你想要低于最低值和高于最大值的平均值，它将无法工作，但你可能想要一些太接近极限的东西，但仍然无法满足。

第三种限制限制了这些参数的组合 。 我不确定它是如何工作的，但我很确定并非所有的组合都可以满足。

但是有一些组合可能有用，可能会找到。

解：

问题是：参数是什么：具有定义的极限a和b的截断（切割）分布的mean和sd ，因此最后平均值将等于desired_mean ，标准偏差将等于desired_sd 。

重要的是参数值： mean和sd 在截断之前使用。 所以这就是为什么最终的意思和偏差是不同的。

下面是使用函数optim()解决问题的代码。 它可能不是解决此问题的最佳解决方案，但它通常有效：

require(truncnorm)

eval_function <- function(mean_sd){
    mean <- mean_sd[1]
    sd <- mean_sd[2]
    sample <- rtruncnorm(n = n, a = a, b = b, mean = mean, sd = sd)
    mean_diff <-abs((desired_mean - mean(sample))/desired_mean)
    sd_diff <- abs((desired_sd - sd(sample))/desired_sd)
    mean_diff + sd_diff
}

n = 1000
a <- 1
b <- 6
desired_mean <- 3
desired_sd <- 1

set.seed(1)
o <- optim(c(desired_mean, desired_sd), eval_function)

new_n <- 10000
your_sample <- rtruncnorm(n = new_n, a = a, b = b, mean = o$par[1], sd = o$par[2])
mean(your_sample)
sd(your_sample)
min(your_sample)
max(your_sample)
eval_function(c(o$par[1], o$par[2]))

如果对此问题有其他解决方案我很感兴趣，所以如果您找到其他答案，请发布它们。

编辑：

@Mikko Marttila：感谢您的评论和链接： Wikipedia我实施了公式来计算截断分布的均值和sd。 现在解决方案更加优雅，如果存在，它应该非常准确地计算所需分布的均值和sd。 它的工作速度也快得多。

我实现了eval_function2 ，它应该在optim()函数中使用而不是之前的函数：

eval_function2 <- function(mean_sd){
    mean <- mean_sd[1]
    sd <- mean_sd[2]

    alpha <- (a - mean)/sd
    betta <- (b - mean)/sd

    trunc_mean <- mean + sd * (dnorm(alpha, 0, 1) - dnorm(betta, 0, 1)) / 
                  (pnorm(betta, 0, 1) - pnorm(alpha, 0, 1))

    trunc_var <- (sd ^ 2) * 
                 (1 + 
                  (alpha * dnorm(alpha, 0, 1) - betta * dnorm(betta, 0, 1))/
                  (pnorm(betta, 0, 1) - pnorm(alpha, 0, 1)) -
                 (dnorm(alpha, 0, 1) - dnorm(betta, 0, 1))/
                 (pnorm(betta, 0, 1) - pnorm(alpha, 0, 1)))

    trunc_sd <- trunc_var ^ 0.5

    mean_diff <-abs((desired_mean - trunc_mean)/desired_mean)
    sd_diff <- abs((desired_sd - trunc_sd)/desired_sd)
}

Answer 2

您可以使用beta分布的通用形式，称为Pearson I类分布 。 标准β分布是在区间（0,1）上定义的，但您可以对标准β分布式变量进行线性变换，以获得任意（最小，最大）之间的值。 CrossValidated上这个问题的答案解释了如何使用其均值和方差，以及某些约束来参数化β分布。

虽然可以用期望的min，max，mean和sd来表示截断的法线和广义β分布，但是两个分布的形状将是非常不同的。 这是因为截断的正态分布在其支持区间的端点处具有正概率密度，而在广义β分布中，密度将总是在端点处平滑地降至零。 哪种形状更优选取决于您的预期应用。

这是R中的一个实现，用于生成具有均值，方差，最小和最大参数化的广义β分布式观测。

rgbeta <- function(n, mean, var, min = 0, max = 1)
{
  dmin <- mean - min
  dmax <- max - mean

  if (dmin <= 0 || dmax <= 0)
  {
    stop(paste("mean must be between min =", min, "and max =", max)) 
  }

  if (var >= dmin * dmax)
  {
    stop(paste("var must be less than (mean - min) * (max - mean) =", dmin * dmax))
  }

  # mean and variance of the standard beta distributed variable
  mx <- (mean - min) / (max - min)
  vx <- var / (max - min)^2

  # find the corresponding alpha-beta parameterization
  a <- ((1 - mx) / vx - 1 / mx) * mx^2
  b <- a * (1 / mx - 1)

  # generate standard beta observations and transform
  x <- rbeta(n, a, b)
  y <- (max - min) * x + min

  return(y)
}

set.seed(1)

n <- 10000
y <- rgbeta(n, mean = 1, var = 4, min = -4, max = 5)

sapply(list(mean, sd, min, max), function(f) f(y))
#    [1]  0.9921269  2.0154131 -3.8653859  4.9838290