为什么以下代码的时间复杂度为O（n ^ 2）？

Question

void level_order_recursive(struct node *t , int h) //'h' is height of my binary tree
{                                                 //'t' is address of root node
    for(int i = 0 ; i <= h ; i++)  
    {
        print_level(t , i);
    }
} 

在每次调用print_level（）之后，我认为递归函数被称为（2 ^ i）次。 所以2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 .... 2 ^ h应该给出O（2 ^ n）的时间复杂度。我哪里出错了？

void print_level(struct node * t , int i)
{
    if( i == 0)
        cout << t -> data <<" ";
    else
        {
            if(t -> left != NULL)
                print_level(t -> left , i - 1);   //recursive call
            if(t -> right != NULL)
                print_level(t -> right , i - 1); //recursive call
        }
}

Answer 1

你混淆了h和n。 h是树的高度。 n显然是树中元素的数量。 因此print_level采用最坏情况O（$ 2 ^ i），但这也只是n。

最糟糕的情况发生在你有一个退化树，每个节点只有一个后继。 在这种情况下，您有n个节点，但树的高度也是h = n。 在这种情况下，每次调用print_level都需要i步，并且将i从1加到h = n得到O（$ n ^ 2）。

Answer 2

你总是从树的根部t开始，每次（ i ）将等级增加一，直到达到树h的高度。

你说它是二叉树，但你没有提到任何属性，例如平衡左右。 所以我假设它可以是一个不平衡的二叉树，因此在最坏的情况下树的高度可以是h = n ，其中n是节点的数量（实际上看起来像列表的完全不平衡的树）。

所以这意味着level_order_recursive循环n次。 即最糟糕的情况是树有n级。

print_level接收根节点和要打印的级别。 并且它会递归调用， 直到达到该级别并打印出该级别。
即它循环 i倍（递归调用减小i通过每次一个）。

所以你有1 + 2 + 3 + ... + h次迭代。 由于h = n你得到1 + 2 + 3 ... + n步。 这是(n * (n+1))/2 （高斯和公式），其为O(n^2) 。

如果你可以确保树是平衡的，那么你将改善最坏的情况，因为高度将是h = ld(n) ，其中ld表示二进制对数。

Answer 3

基于这个或那个 ，页3和4，二进制搜索算法，它类似于我们的情况下，具有的时间复杂度T(n) = T(n/2) + c 。 除此之外，浏览左侧和右侧子树，因此下面的公式中的2T（n / 2），因为这是遍历算法，而不是搜索算法。

在这里，我将遵守问题并使用'h'而不是'n'。

使用递归关系，您将获得以下证明：

Answer 4

在最坏的情况下，时间复杂度将是O（n ^ 2）但不能是2 ^ n，因为每个级别的时间复杂度将是 - > O（n）+ O（n-1）+ O（n-2）+ ... + O（1）最差O（n ^ 2）。