如何使完美的幂算法更有效？

Question

我有以下代码：

def isPP(n):
  pos = [int(i) for i in range(n+1)]
  pos = pos[2:] ##to ignore the trivial n** 1 == n case
  y = []
  for i in pos:
      for it in pos:
          if i** it == n:
              y.append((i,it))
              #return list((i,it))
      #break
  if len(y) <1:
      return None
  else:
      return list(y[0])

由于我在内存中存储了太多内存，因此直到2000年为止，它都能完美运行。 我该怎么做才能使它有效地处理大量数字（例如50000或100000）。 在找到一种情况后，我试图使其结束，但是如果数量很大，我的算法仍然效率太低。

有小费吗？

Answer 1

IIRC，迭代检查“它有平方根吗？有立方根吗？有第四个根吗？……”要容易得多，您很快就会得出推定的根必须在1之间的观点。和2 ，此时您可以停止。

Answer 2

如果存在b和e且b ^ e = n，则数字n是理想幂。 例如216 = 6 ^ 3 = 2 ^ 3 * 3 ^ 3是一个完美的幂，但72 = 2 ^ 3 * 3 ^ 2不是一个完美的幂。

确定一个数字是否为完美幂的诀窍是要知道，如果该数字是一个完美幂，则指数e必须小于log2 n ，因为如果e大于2，则e将大于n 。 此外，仅需测试素数es ，因为如果数字是复合指数的完美幂，那么它也是复合成分的质数的完美幂； 例如2 ^ 15 = 32768 = 32 ^ 3 = 8 ^ 5是理想的立方根，也是理想的第五根。

下面显示的功能isPerfectPower通过首先使用牛顿方法计算整数根，然后对结果加幂以检查其是否等于n，来测试每个小于log2 n的素数。 辅助函数质数通过Eratosthenes的Sieve计算primes列表， iroot通过牛顿方法计算整数k th-root， ilog通过二进制搜索计算以b为底的整数对数。

def primes(n): # sieve of eratosthenes
    i, p, ps, m = 0, 3, [2], n // 2
    sieve = [True] * m
    while p <= n:
        if sieve[i]:
            ps.append(p)
            for j in range((p*p-3)/2, m, p):
                sieve[j] = False
        i, p = i+1, p+2
    return ps

def iroot(k, n): # assume n > 0
    u, s, k1 = n, n+1, k-1
    while u < s:
        s = u
        u = (k1 * u + n // u ** k1) // k
    return s

def ilog(b, n): # max e where b**e <= n
    lo, blo, hi, bhi = 0, 1, 1, b
    while bhi < n:
        lo, blo, hi, bhi = hi, bhi, hi+hi, bhi*bhi
    while 1 < (hi - lo):
        mid = (lo + hi) // 2
        bmid = blo * pow(b, (mid - lo))
        if n < bmid: hi, bhi = mid, bmid
        elif bmid < n: lo, blo = mid, bmid
        else: return mid
    if bhi == n: return hi
    return lo

def isPerfectPower(n): # x if n == x ** y, or False
    for p in primes(ilog(2,n)):
        x = iroot(p, n)
        if pow(x, p) == n: return x
    return False

在我的博客上还有关于完美功率谓词的进一步讨论。

Answer 3

一个相关的改进将是：

import math

def isPP(n):

        # first have a look at the length of n in binary representation
        ln = int(math.log(n)/math.log(2)) + 1

        y = []
        for i in range(n+1):
                if (i <= 1):
                        continue
                # calculate max power

                li = int(math.log(i)/math.log(2))
                mxi = ln / li + 1
                for it in range(mxi):
                        if (it <= 1):
                                continue
                        if i ** it == n:
                                y.append((i,it))
                                # break if you only need 1

        if len(y) <1:
                return None
        else:
                return list(y[0])

Answer 4

我认为更好的方法是实施此“ hack”：

import math

def isPP(n):
    range = math.log(n)/math.log(2)
    range = (int)(range)
    result = []
    for i in xrange(n):
        if(i<=1):
            continue
        exponent = (int)(math.log(n)/math.log(i))
        for j in [exponent-1, exponent, exponent+1]:
            if i ** j == n:
                result.append([i,j])
    return result

print isPP(10000)

结果：

[[10,4],[100,2]]

黑客使用以下事实：

if log(a)/log(b) = c,
    then power(b,c) = a

由于此计算在浮点数上可能会略微不足以给出真正近似的结果，因此将指数检查为+/- 1的精度。

您可以进行必要的调整以处理n=1, etc.极端情况n=1, etc.