[英]How to prove binomial coefficient is asymptotic big theta of two to the power n?
我陷入这个问题。 我认为将2m选择为m等于n是4的大θ，但仍然很难证明。
感谢@LutzL的建议。 我以前曾想过斯特林的近似。
O部分应该很容易。 从n中精确选择n / 2个元素是从n个元素中选择任意组合的一种特殊情况，即为这n个元素中的每一个决定是否选择它。
Ω部分比较难。 实际上， 将4 n / binomial（2 n ， n ）绘制为中等大的n，我看不出有迹象表明这会变平以保持在某个常数以下。 直观地讲， n越大，从n个元素中随机选择一个巧合地恰好选择n / 2 个元素时，情况就越特殊。 随着n的增加，该概率应趋于零，这意味着2 n的增长应始终快于n选择n / 2的增长。 您确定您正确理解了任务的这一部分吗？
您可以将Stirlings公式用于阶乘。
n! = sqrt(2*pi*(n+theta)) * (n/e)^n
其中theta在0到1之间，并且倾向于0。
不是-它是Theta（2 ^ n / sqrt（n）），实际上选择（n，n / 2）〜2 ^ n / sqrt（pi *（n / 2））作为n-> infinity）。 参见https://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient
如何使用 Big-O、Big-Omega 和 Big-Theta 证明/反驳 (2^{n})^{1/3} 是否在 Θ(2^{n}) 中
[英]How to prove/disprove if (2^{n})^{1/3} is in Θ(2^{n}) using Big-O, Big-Omega and Big-Theta
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