证明中心二项式系数的渐近下界

Question

我最近在学习二项式系数，并且想知道如何反驳 2nCn（或中心二项式系数）不是 4^n 的下界； 换句话说：

可以很容易地构造一些极其宽泛的界限，例如：

我试图通过矛盾来证明，所以假设：

显然，c ₁不可能存在，因为当 n 接近无穷大时，1/(2n + 1) 接近 0。 还可以看出 c ₂必须驻留在 (0, 1] 中。而且...我被卡住了。直觉上，c ₂不存在似乎相当明显。

我知道这里有人问过类似的问题，但没有提供真正的证据。 我也知道，当 n 接近无穷大时，您可以证明 2nCn/4 ⁿ的极限接近 0，但我想知道是否还有其他方法可以做到这一点 - 特别是通过证明 c ₂不存在。

Answer 1

对于所有 n，常数 c ₂的上限必须为

2n choose n       (2n)!
----------- = -------------
    4^n       2^n n! 2^n n!

                  (2n)!
            = -------------
              (2n)!! (2n)!!

              (2n-1)!!
            = --------
               (2n)!!

                 n    (2i-1)
            = product ------
                i=1     2i

                 n
            = product (1 - 1/(2i))
                i=1

                 n
            ≤ product exp(-1/(2i))    [since 1 + x ≤ exp(x)]
                i=1

                   n
            = exp(sum -1/(2i))
                  i=1

            ≤ exp(-ln(n+1)/2)    [since sum ≤ integral of increasing fn]

            = 1/√(n+1),

因此它不可能是积极的。