如何证明渐近符号

Question

我想证明以下陈述

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)∕n ∈ Θ(n)

我知道要证明这一点，我们必须找到常量c1>0 ， c2>0和n0>0使得

c1.g(n) <= f(n) <= c2.g(n) for all n >= n0

换句话说，我们必须证明f(n) <= cg(n) and f(n) >= cg(n) 。

问题是如何证明左手边(2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)∕n)

谢谢

Answer 1

您可以先扩展指数。 它等于n1 * n2 / n，其中n1 <= n <= n2、2 * n1> n和n * 2> n2。 其余的应该很容易。

Answer 2

这是上限的推导：

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)/n
= 2^(2⌊lg n⌋+1)/n 
<= 2^(2 lg n + 1)/n
= 2^(2 lg n) 2^(1) / n
= 2 n^2 / n
= 2 n
= O(n)

因此，我们知道您的函数可以被2 * n限制。 现在我们执行下限：

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)/n
= 2^(2⌈lg n⌉ - 1) / n
>= 2^(2 lg n - 1)/n
= 2^(2 lg n) 2^(-1) / n
= 1/2 n^2 / n
= 1/2 n
= O(n)

现在我们知道您的函数可以被n / 2限制。

在gnuplot上检查； 这些答案看起来又好又紧。 这是使用floor（）和ceiling（）函数定义的纯代数解决方案。