如何评估以下包含渐近符号的表达式？

Question

如果

f(n)=ϴ(n),g(n)=ϴ(n) 

和

h(n)=Ω(n) 

那么如何评估f(n)g(n)+h(n)呢？

我接近f(n)g(n)=ϴ(n^2) ，现在将是Ω(n)+ϴ(n^2) 。 根据我的说法，该表达式的下限应该是Ω(n) ，上限应该是O(n^2) ，但是该表达式的最严格的边界应该是什么？

Answer 1

对于某些常数k1, k2, l1, l2 and m > 0 ，我们有：

f(n) is ϴ(n)

    => k1*n < f(n) < k2*n, for n sufficiently large

g(n) is ϴ(n)

    => l1*n < g(n) < g2*n, for n sufficiently large

h(n) is Ω(n)

    => m*n < h(n), for n sufficiently large

然后， f(n)*h(n) ：

for f(n) * h(n): 

    k1*l1*n^2 < f(n)*g(n) < k2*l2*n^2, for n sufficiently large

因此，我们可以只写p(n) = f(n)*g(n)并使用常量c1=k1*l1和c2=k2*l2 ，我们有：

p(n) (= f(n)*g(n)) is in ϴ(n^2), since

    c1*n^2 < p(n) < c2*n^2

那么，最后， p(n) + h(n)有什么复杂度？ 我们有：

c1*n^2 + m*n < p(n) + h(n), for n sufficiently large

由于我们永远都没有h(n)的上限，因此我们无法真正说出p(n) + h(n)的上限。 这势在必行： h(n) in Ω(n)中的h(n) h(n) in Ω(n)仅表示h(n) ）渐近地增长至少与n （线性）一样快，但是我们不知道这是否是严格的下界。 对于指数时间函数，这可能是一个非常草率的下界。

随后，我们只能声明有关下限的内容：

p(n) + h(n) = f(n)*g(n) + h(n) is in Ω(n^2)

即， f(n)*g(n) + h(n) ）渐近地至少随着n^2 （即，以Ω(n^2) ）增长。

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关于您的方法的注释：您正确（如上所示） f(n)g(n) is in ϴ(n^2) ，但是请注意，这意味着f(n)g(n) + h(n)永远不能小于k*n^2 ：即，给定f(n)g(n) + h(n) in Ω(n^2)中的f(n)g(n) + h(n) in Ω(n^2)更好，更好（tigher）下限比您的建议低； Ω(n) 。 回想一下，增长最快的术语主导着渐近行为。

供参考，例如

• https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/asymptotic-notation