不同渐近符号之间有什么区别？

Question

我对渐近符号真的很困惑。 据我所知，Big-O 表示法是最差的，omega 是最好的情况，theta 是平均情况。 然而，我总是看到 Big O 无处不在，即使在最好的情况下也是如此。 例如，在以下链接中，请参阅提及不同排序算法的时间复杂度的表格 -

https://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case

表中的每个地方都使用大 O 表示法，无论是最好的情况、最坏的情况还是平均情况。 那么另外两种记法有什么用呢，又用在什么地方呢？

Answer 1

Big O 用于上限，而不是最坏的情况！ 没有专门针对最坏情况/最好情况的符号。 您正在谈论的示例都有大 O，因为它们都以给定值为上限。 我建议你再看看你从中学习基础知识的书，因为这对理解非常重要:)

编辑：回答您的疑问 - 因为通常，我们对我们的最高性能感到困扰，即当我们说我们的算法在最佳情况下以 O(logn) 执行时，我们知道它的性能不会比对数时间差在给定的场景中。 这是我们通常寻求减少的上限，因此我们通常会提到大 O 来比较算法。 （并不是说我们从未提及其他两个）

Answer 2

据我所知，Big-O 表示法是最差的，omega 是最好的情况，theta 是平均情况。

他们不是。 Omicron 是（渐近）上限，omega 是下界，theta 是紧界，既是上限又是下界。 如果算法的下界和上限不同，则复杂度无法用 theta 符号表示。

上限、下限、紧边界的概念与最佳、平均、最坏情况的概念正交。 您可以分析每种情况的上限，也可以分析最坏情况的不同界限（以及上述任何其他组合）。

渐近边界总是与表达式中的变量集有关。 例如， O(n)与n 。 最好的、平均的和最坏的情况来自除n所有其他情况。 例如，如果n是元素的数量，那么不同的情况可能来自元素的顺序、唯一元素的数量或值的分布。

然而，我总是看到 Big O 无处不在，即使在最好的情况下也是如此。

这是因为在描述算法时，上限几乎总是最重要和最有趣的上限。 我们很少关心下限。 就像我们很少关心最好的情况一样。

下限有时可用于描述已被证明具有特定复杂性的问题。 例如，已证明所有通用比较排序算法的最坏情况复杂度为Ω(n log n) 。 如果排序算法也是O(n log n) ，那么根据定义，它也是Θ(n log n) 。

Answer 3

O(...)基本上意味着“不（远）比...慢”。
它可以用于所有三种情况（“最坏情况不慢于”，“最好情况不慢于”，等等）。

Omega 正好相反：您可以说，某些事情不可能比 ...快得多。 同样，它可以用于所有三种情况。 与O(...)相比，这并不重要，因为告诉某人“我确定我的程序没有你的快”并没有什么值得骄傲的。

Theta 是一个组合：它“（或多或少）与……一样快”，而不仅仅是更慢/更快。

Answer 4

Big-O表示法类似于这样>=在渐近相等方面。

例如，如果你看到这个：

x = O(x^2)它确实说x <= x^2 （在渐近术语中）。

它确实意味着“x 至多与 x^2 一样复杂”，这是您通常感兴趣的东西。

即使在比较最佳/平均情况时，您也可以说“在最好的输入中，我最多会有这种复杂性”。

Answer 5

有两件事混为一谈：Big O、Omega、Theta 是纯粹的数学结构。 例如，O (f (N)) 是小于 c * f (n) 的函数集，对于某些 c > 0，并且对于所有 n >= 某个最小值 N0。 根据该定义，n = O (f (n^4))，因为 n ≤ n^4。 100 = O (f (n))，因为 n ≥ 100 时 100 <= n，或者 n ≥ 1 时 100 <= 100 * n。

对于算法，您希望给出最坏情况下的速度，平均情况下的速度，很少是最佳情况下的速度，有时是摊销平均速度（即运行一次算法确实有效，再次运行时可以使用。就像计算 n! for n = 1, 2, 3, ... 其中每个计算都可以利用前一个）。 无论你测量什么速度，你都可以用一种符号给出结果。

例如，您可能有一个算法，您可以证明最坏的情况是 O(n^2)，但您无法证明是否存在更快的特殊情况，也无法证明该算法实际上并没有更快，就像 O (n^1.9)。 所以 O (n^2) 是唯一可以证明的。