不同漸近符號之間有什么區別？

Question

我對漸近符號真的很困惑。 據我所知，Big-O 表示法是最差的，omega 是最好的情況，theta 是平均情況。 然而，我總是看到 Big O 無處不在，即使在最好的情況下也是如此。 例如，在以下鏈接中，請參閱提及不同排序算法的時間復雜度的表格 -

https://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case

表中的每個地方都使用大 O 表示法，無論是最好的情況、最壞的情況還是平均情況。 那么另外兩種記法有什么用呢，又用在什么地方呢？

Answer 1

Big O 用於上限，而不是最壞的情況！ 沒有專門針對最壞情況/最好情況的符號。 您正在談論的示例都有大 O，因為它們都以給定值為上限。 我建議你再看看你從中學習基礎知識的書，因為這對理解非常重要:)

編輯：回答您的疑問 - 因為通常，我們對我們的最高性能感到困擾，即當我們說我們的算法在最佳情況下以 O(logn) 執行時，我們知道它的性能不會比對數時間差在給定的場景中。 這是我們通常尋求減少的上限，因此我們通常會提到大 O 來比較算法。 （並不是說我們從未提及其他兩個）

Answer 2

據我所知，Big-O 表示法是最差的，omega 是最好的情況，theta 是平均情況。

他們不是。 Omicron 是（漸近）上限，omega 是下界，theta 是緊界，既是上限又是下界。 如果算法的下界和上限不同，則復雜度無法用 theta 符號表示。

上限、下限、緊邊界的概念與最佳、平均、最壞情況的概念正交。 您可以分析每種情況的上限，也可以分析最壞情況的不同界限（以及上述任何其他組合）。

漸近邊界總是與表達式中的變量集有關。 例如， O(n)與n 。 最好的、平均的和最壞的情況來自除n所有其他情況。 例如，如果n是元素的數量，那么不同的情況可能來自元素的順序、唯一元素的數量或值的分布。

然而，我總是看到 Big O 無處不在，即使在最好的情況下也是如此。

這是因為在描述算法時，上限幾乎總是最重要和最有趣的上限。 我們很少關心下限。 就像我們很少關心最好的情況一樣。

下限有時可用於描述已被證明具有特定復雜性的問題。 例如，已證明所有通用比較排序算法的最壞情況復雜度為Ω(n log n) 。 如果排序算法也是O(n log n) ，那么根據定義，它也是Θ(n log n) 。

Answer 3

O(...)基本上意味着“不（遠）比...慢”。
它可以用於所有三種情況（“最壞情況不慢於”，“最好情況不慢於”，等等）。

Omega 正好相反：您可以說，某些事情不可能比 ...快得多。 同樣，它可以用於所有三種情況。 與O(...)相比，這並不重要，因為告訴某人“我確定我的程序沒有你的快”並沒有什么值得驕傲的。

Theta 是一個組合：它“（或多或少）與……一樣快”，而不僅僅是更慢/更快。

Answer 4

Big-O表示法類似於這樣>=在漸近相等方面。

例如，如果你看到這個：

x = O(x^2)它確實說x <= x^2 （在漸近術語中）。

它確實意味着“x 至多與 x^2 一樣復雜”，這是您通常感興趣的東西。

即使在比較最佳/平均情況時，您也可以說“在最好的輸入中，我最多會有這種復雜性”。

Answer 5

有兩件事混為一談：Big O、Omega、Theta 是純粹的數學結構。 例如，O (f (N)) 是小於 c * f (n) 的函數集，對於某些 c > 0，並且對於所有 n >= 某個最小值 N0。 根據該定義，n = O (f (n^4))，因為 n ≤ n^4。 100 = O (f (n))，因為 n ≥ 100 時 100 <= n，或者 n ≥ 1 時 100 <= 100 * n。

對於算法，您希望給出最壞情況下的速度，平均情況下的速度，很少是最佳情況下的速度，有時是攤銷平均速度（即運行一次算法確實有效，再次運行時可以使用。就像計算 n! for n = 1, 2, 3, ... 其中每個計算都可以利用前一個）。 無論你測量什么速度，你都可以用一種符號給出結果。

例如，您可能有一個算法，您可以證明最壞的情況是 O(n^2)，但您無法證明是否存在更快的特殊情況，也無法證明該算法實際上並沒有更快，就像 O (n^1.9)。 所以 O (n^2) 是唯一可以證明的。