漸近符號有缺陷嗎？

Question

任何算法的最佳情況復雜度是算法完成其任務所需的最短時間。 我們知道合並排序、快速排序等算法的最佳情況復雜度是 Ω(n log(n))，它定義了這些算法的下限。

正如我們所知，在漸近符號中 -

O(n) + O(n log(n)) = O(n log(n))

還，

Ω(n) + Ω(n log(n)) = Ω(n log(n))

因此，如果在這些排序算法中，我們首先在 O(n) 時間內遍歷整個數組以確定該數組是否已經按升序或降序排序，那么它們的平均情況和最壞情況復雜度將漸近保持不變。 但是他們最好的情況復雜性現在將變為Ω(n) 。

從邏輯上講，我理解這些漸近符號的方式肯定存在缺陷，否則當漸近符號正在開發或流行以測量排序算法時，肯定有人會指出這一點。 我是否正確假設這是漸近符號中的一個似是而非的缺陷，還是我錯過了一些漸近符號規則？

Answer 1

使用漸近復雜度作為速度度量肯定存在問題。 首先，顯然常數很重要。 1000n通常會比n log n大得多，對於 n 的任何實際值， n n^1000肯定比2^n大得多。 然而，事實證明，漸近復雜度通常是算法實際速度的一個相當好的指標。

你提出的問題也是正確的，但我不認為這是一個問題。 確實，在快速排序開始時進行簡單的isSorted()檢查會將其最佳案例復雜度降低到Θ(n) ，但很少有人關心最佳案例性能。 事實上，許多常見問題的算法都可以修改為最佳情況線性，但這並不是很有用。

最后，請注意，這並不是漸近符號的真正缺陷。 進行隨機猜測並驗證猜測是否正確（例如通過猜測數組已經排序）通常確實可以提高最佳情況的性能，而對平均或最壞情況的影響很小，無論使用哪種表示法。

Answer 2

首先，您應該在腦海中區分情況（最佳、最差、平均等）和界限（上限、下限、O、Omega、Theta 等）。

讓我們專注於冒泡排序，定義如下：

if array == null or array.length < 2 then return
do
    swapped = false
    for i = 0 to array.length - 2
        if array[i] > array[i+1] then
            swap(array, i, i+1)
            swapped = true
until not swapped

該算法的最佳情況是排序數組，在這種情況下，下限 (Omega)、上限 (O) 和 Theta 界限都同意運行時由 f(n) = an 形式的 function 限制； 也就是說，T(n) = O(n)。 冒泡排序的最佳情況是線性的。

該算法的最壞情況是反向排序的數組。 在這種情況下，運行時間由 function 上下限定，例如 g(n) = bn^2; 在最壞的情況下，T(n) = O(n^2)。

您不會遺漏任何東西，算法具有不同的最壞情況和最佳情況運行時界限是完全正常的。 算法也很可能無法針對最佳情況進行優化，因為最佳情況通常不是我們擔心的情況； 是的，歸並排序可以首先檢查數組是否已排序，但是在長度為 N 的所有可能的 arrays 的集合中，這些數組的數量相對較少。

此外，您可以選擇談論最壞情況下的下限或最佳情況下的上限。 這些事情不是我們通常關注的——而是關注最壞情況的上限，或者可能是最好情況的下限——但情況和邊界是完全獨立的事物，可以任意組合。