表达式的渐近运行时复杂度

Question

我可以这样说吗：

log n + log（n-1）+ log（n-2）+ .... + log（n-k）= theta（k * log n）？

上面的正式写法：

Sigma（i从0到k）log（ni）= theta（k * log n）？

如果以上说法正确，我该如何证明？

如果不正确，如何将其（当然是等式的左侧）表示为n和k的渐近运行时间函数？

谢谢。

Answer 1

表示：

LHS = log(n) + log(n-1) + ... + log(nk)

RHS = k * log n

注意：

LHS = log(n*(n-1)*...*(nk)) = log(polynomial of (k+1)th order)

因此，这等于：

(k+1)*log(n(1 + terms that are 0 in limit))

如果我们考虑除法：

(k+1)*log(n(1 + terms that are 0 in limit)) / RHS

我们受到限制：

(k+1)/k = 1 + 1/k

因此，如果k为常数，则两项均会快速增长。 所以LHS = theta(RHS) 。

Wolfram Alpha似乎同意。

当n为常数时，以前限制为0不会消失，而是得到：

(k+1) * some constant number / k * (some other constant number)

所以是：

(1 + 1/k)*(another constant number) 。 所以LHS = theta(RHS) 。

Answer 2

证明Θ ，要证明O和Ω 。

上限很容易证明：
log(n(n-1)...(nk)) ≤ log(n^k) = k log n = O(k log n)

对于下限，如果k ≥ n/2 ，则在乘积中有n/2项大于n/2 ：
log(n(n-1)...(nk)) ≥ (n/2)log(n/2) = Ω(n log n) ≥ Ω(k log n)

如果k ≤ n/2 ，则所有项均大于n/2 ：
log(n(n-1)...(nk)) ≥ log((n/2)^k) = k log(n/2) = Ω(k log n)