表達式的漸近運行時復雜度

Question

我可以這樣說嗎：

log n + log（n-1）+ log（n-2）+ .... + log（n-k）= theta（k * log n）？

上面的正式寫法：

Sigma（i從0到k）log（ni）= theta（k * log n）？

如果以上說法正確，我該如何證明？

如果不正確，如何將其（當然是等式的左側）表示為n和k的漸近運行時間函數？

謝謝。

Answer 1

表示：

LHS = log(n) + log(n-1) + ... + log(nk)

RHS = k * log n

注意：

LHS = log(n*(n-1)*...*(nk)) = log(polynomial of (k+1)th order)

因此，這等於：

(k+1)*log(n(1 + terms that are 0 in limit))

如果我們考慮除法：

(k+1)*log(n(1 + terms that are 0 in limit)) / RHS

我們受到限制：

(k+1)/k = 1 + 1/k

因此，如果k為常數，則兩項均會快速增長。 所以LHS = theta(RHS) 。

Wolfram Alpha似乎同意。

當n為常數時，以前限制為0不會消失，而是得到：

(k+1) * some constant number / k * (some other constant number)

所以是：

(1 + 1/k)*(another constant number) 。 所以LHS = theta(RHS) 。

Answer 2

證明Θ ，要證明O和Ω 。

上限很容易證明：
log(n(n-1)...(nk)) ≤ log(n^k) = k log n = O(k log n)

對於下限，如果k ≥ n/2 ，則在乘積中有n/2項大於n/2 ：
log(n(n-1)...(nk)) ≥ (n/2)log(n/2) = Ω(n log n) ≥ Ω(k log n)

如果k ≤ n/2 ，則所有項均大於n/2 ：
log(n(n-1)...(nk)) ≥ log((n/2)^k) = k log(n/2) = Ω(k log n)