渐近时间复杂度

Question

阅读许多文章或答案后，我仍然无法解决确定函数的渐近时间复杂度的问题。 该函数例如是这样的：

def function(n):
    for i in range(n):
        if i == 0:
            for j in range(n):
                for k in range(10000):
                    print("output")

归因于n的渐近时间复杂度是多少，归因于n将被写入“输出”多少次？

谢谢。

Answer 1

理论

在此示例中，即使有3个嵌套循环，时间复杂度也应为O(n) 。

• i循环运行n次。

• j循环运行n次，但仅当i为0时。

• k循环运行10000次，但这是一个常数因子。

为了更好地说明会发生什么，即使它们都等于n ，也让我们区分n_i和n_j 。 复杂度是：

O(1 * n_j * 10000 + n_i * 1) = O(10000 * n_j + n_i) = O(n_j + n_i) = O(n + n) = O(n)

输出应打印10000 * n次。

用％timeit检查

如果以计数器增量替换print调用：

def function(n):
    count = 0
    for i in range(n):
        if i == 0:
            for j in range(n):
                for k in range(10000):
                    count += 1

您可以在IPython中使用n递增值调用%timeit ：

%timeit function(10)
5.01 ms ± 36 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

%timeit function(100)
50.4 ms ± 334 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

%timeit function(1000)
497 ms ± 1.1 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

%timeit function(10000)
5.03 s ± 27.6 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

时间似乎完全符合O(n) ！

变化

if没有if复杂度为O(n**2) ：

def function(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(10000):
                print("output")

如果k在range(n)则复杂度为O(n**3) range(n) ：

def function(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                print("output")