为什么我们在谈论时间复杂度时使用渐近符号（因此忽略系数）？

Question

这个问题与“为什么我们忽略 Big-O 表示法中的系数”不同。

在测量时间复杂度时，我们通常使用忽略系数和非主导元素的 Big-O 表示法。 但是，2N+C 和 N+C 指令不会导致执行时间的显着差异，尤其是当问题规模变得非常大时？ 前者将比后者多花费两倍的时间，与现实世界大规模计算中的一周相比，这可能是两周。

示例包括快速排序与其他 O(NlogN) 排序算法以及琐碎的 O(N^3) 矩阵乘法与 Strassen 算法（可能会更慢，因为即使指数较小，前导系数也会大得多）

Answer 1

简而言之：因为它太难了。

准确找出这些系数是什么需要硬件 model：为算法使用的每个原语分配一个成本。 在存在现代优化编译器、乱序执行和 memory 缓存层次结构的情况下，这是一个几乎难以解决的问题。

如果您想要对它们的值进行一些估计，那么计算渐近复杂度公式会更容易（并且可能更准确），针对不同的问题大小运行一些基准测试并将系数拟合到获得的数据。

Answer 2

我们使用渐近符号，所以我们可以谈论算法的效率，而不是特定计算机的效率。

如果您编写的程序需要 f(n) 秒才能在您的机器上运行...

同样的程序在速度更快的机器上可能需要 f(n)/10 秒，但这仍然是 O(f(n))。

在慢得多的机器上，相同的程序可能需要 f(n)*10 秒，但这仍然是 O(f(n))。

有些机器可能有不同的硬件，所以它在浮点数学上更快，但在 memory 访问时更慢。 在该机器上运行程序所需的时间可能会更快或更慢，具体取决于特定的输入，但它仍然是 O(f(n))。

运行程序所需的时间取决于很多因素，但渐近复杂度是算法本身的属性。 这就是我们使用它来评估算法的原因。

Answer 3

因为大 O 表示法告诉您算法的性能与所使用的语言、编译器/解释器或平台无关。 与流行的看法相反，big-O 不能预测运行时间。 相反，它会告诉您算法如何随输入扩展。 无论给定大小的输入需要多长时间，如果将输入的大小加倍，具有 O(n ² ) 复杂度的算法将渐近花费 4 倍的时间，如果将输入增加 10 倍，则将花费 100 倍的时间等，无论您选择何种语言、编译器或平台。