(newtype Mu f = InF {outF :: f (Mu f)}) 的函子实例

Question

这让我很难过。 如何为newtype Mu f = InF {outF :: f (Mu f)}编写 Functor 实例

Answer 1

你不能。 为了为某些c定义实例Functor c ， c必须是* -> *类型。 所以在你的情况下， Mu应该是那种，这意味着它的论点f必须是那种* 。 但显然情况并非如此，因为您将f应用于其他事物（对Mu f ）。

更简单地说，如果Mu是一个仿函数，则可以对任何f类型的Mu f值使用fmap 。 但这将允许您将类型参数更改为任何其他类型，例如，通过将函数fmap (const (0 :: Int))应用于任何Mu f值，它必须返回一个Mu Int值。 但是您不能形成这样的值，因为该值的outF将具有没有意义的Int (Mu Int)类型。

Answer 2

redneb 很好地解释了为什么Mu不能成为常规Functor但您可以为Mu实现一种类似仿函数的映射操作

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}

newtype Mu f = InF {outF :: f (Mu f)}

mumap :: Functor f => (forall a. f a -> g a) -> Mu f -> Mu g
mumap f (InF m) = InF $ f $ fmap (mumap f) m

虽然我不确定它对你的情况有多大用处。 :)

Answer 3

与 user2297560 不同的对Mu的轻微改写足以承认 Mu 的 Functor 实例：

-- Natural transformations
type g ~> h = forall a. g a -> h a

class HFunctor f where
  ffmap :: Functor g => (a -> b) -> f g a -> f g b
  hfmap :: (Functor g, Functor h) => (g ~> h) -> (f g ~> f h)

newtype Mu f a = In { unIn :: f (Mu f) a }

instance HFunctor f => Functor (Mu f) where
  fmap f (In r) = In (ffmap f r)

这个公式来自 Patricia 和 Neil 的论文Haskell Programming with Nested Types: A Principled Approach 。

Answer 4

正如 redneb 所描述的，仿函数实例必须具有* -> *种类，这禁止Mu成为仿函数，因为它的参数f应用于f (Mu f)中的参数。

这是所涉及的各种类型的细分。

---

首先，创建的新类型，在所有应用的参数之后，必须有种类* 。 所以：

Mu f必须有种类* 。

其次， Mu f被设置为等于的也必须具有相同的种类。 那是，

InF { outF :: f (Mu f) }必须有种类* 。

第三， outF是一个函数，因此必须返回一个完全实现的类型，无论是参数化的还是具体的，即类型* 。 f (Mu f)是它的返回类型。 所以

f (Mu f)必须有种类* 。

最后， f是一种应用类型，因为它出现在f (Mu f)中。 换句话说，它有一种f_argument_kind -> f_result_kind用于某种f_argument_kind和某种f_result_kind 。 此外， f (Mu f)告诉我们f_argument_kind和f_result_kind的种类。 也就是说， f_argument_kind匹配Mu f的种类 ( * )， f_result_kind匹配f (Mu f)的种类 ( * )。 所以

f有种类* -> * 。

将其与已知类型的Mu f ( * ) 结合，我们得到类型构造函数的类型。

Mu有种类(* -> *) -> * 。