IEEE 754浮点加法和乘法的互换性

Question

加法x + x可以通过IEEE 754（IEC 559）浮点标准中的乘法2 * x x + x互换，或者更一般地说是否保证case_add和case_mul 总是给出完全相同的结果？

#include <limits>

template <typename T>
T case_add(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    T result(x);

    for (size_t i = 1; i < n; ++i)
    {
        result += x;
    }

    return result;
}

template <typename T>
T case_mul(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    return x * static_cast<T>(n);
}

Answer 1

加法x + x可通过IEEE 754（IEC 559）浮点标准中的乘法2 * x x + x互换

是的，因为它们在数学上都是相同的，所以它们将给出相同的结果（因为结果在浮点中是精确的）。

或者更一般地说，是否有任何保证case_add和case_mul始终给出完全相同的结果？

不一般，没有。 据我所知，它似乎适用于n <= 5 ：

• n=3 ：由于x+x是精确的（即不涉及舍入），因此(x+x)+x仅涉及最后一步的一次舍入。

• n=4 （然后你正在使用默认的舍入模式）

  • 如果x的最后一位是0，则x+x+x是精确的，因此结果与n=3参数相同。
  • 如果最后2位是01 ，则x+x+x的精确值将具有1|1最后2位（其中|表示格式中的最后一位），其将向上舍入为0|0 。 下一个添加将给出精确的结果|01 ，因此结果将向下舍入，取消先前的错误。
  • 如果最后2位是11 ，那么x+x+x的精确值将具有0|1最后2位，其将向下舍入为0|0 。 下一个加法将给出精确的结果|11 ，因此结果将向上舍入，再次取消先前的错误。

• n=5 （同样，假设默认舍入）：由于x+x+x+x是精确的，因此它与n=3原因相同。

对于n=6它失败，例如，取x为1.0000000000000002 （ 1.0之后的下一个double 6.000000000000002 ），在这种情况下， 6x为6.000000000000002 ， x+x+x+x+x+x为6.000000000000001

Answer 2

如果n是例如pow(2, 54)则乘法将正常工作，但是在加法路径中，一旦结果值足够大于输入x ， result += x将产生result 。

Answer 3

是的，但它并不普遍。 乘以高于2的数字可能不会给出相同的结果，因为您更改了指数，如果替换为adds，则可能会略微下降。 但是，如果由添加操作替换，乘以2则不会丢失一点。

Answer 4

如果case_add的累加器result变得太大，则添加x将引入舍入误差。 在某个时刻，添加x根本不会产生任何影响。 所以函数不会给出相同的结果。

例如，如果double x = 0x1.0000000000001p0 （十六进制浮点表示法）：

n  case_add              case_mul

1  0x1.0000000000001p+0  0x1.0000000000001p+0
2  0x1.0000000000001p+1  0x1.0000000000001p+1
3  0x1.8000000000002p+1  0x1.8000000000002p+1
4  0x1.0000000000001p+2  0x1.0000000000001p+2
5  0x1.4000000000001p+2  0x1.4000000000001p+2
6  0x1.8000000000001p+2  0x1.8000000000002p+2