IEEE 754浮點加法和乘法的互換性

Question

加法x + x可以通過IEEE 754（IEC 559）浮點標准中的乘法2 * x x + x互換，或者更一般地說是否保證case_add和case_mul 總是給出完全相同的結果？

#include <limits>

template <typename T>
T case_add(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    T result(x);

    for (size_t i = 1; i < n; ++i)
    {
        result += x;
    }

    return result;
}

template <typename T>
T case_mul(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    return x * static_cast<T>(n);
}

Answer 1

加法x + x可通過IEEE 754（IEC 559）浮點標准中的乘法2 * x x + x互換

是的，因為它們在數學上都是相同的，所以它們將給出相同的結果（因為結果在浮點中是精確的）。

或者更一般地說，是否有任何保證case_add和case_mul始終給出完全相同的結果？

不一般，沒有。 據我所知，它似乎適用於n <= 5 ：

• n=3 ：由於x+x是精確的（即不涉及舍入），因此(x+x)+x僅涉及最后一步的一次舍入。

• n=4 （然后你正在使用默認的舍入模式）

  • 如果x的最后一位是0，則x+x+x是精確的，因此結果與n=3參數相同。
  • 如果最后2位是01 ，則x+x+x的精確值將具有1|1最后2位（其中|表示格式中的最后一位），其將向上舍入為0|0 。 下一個添加將給出精確的結果|01 ，因此結果將向下舍入，取消先前的錯誤。
  • 如果最后2位是11 ，那么x+x+x的精確值將具有0|1最后2位，其將向下舍入為0|0 。 下一個加法將給出精確的結果|11 ，因此結果將向上舍入，再次取消先前的錯誤。

• n=5 （同樣，假設默認舍入）：由於x+x+x+x是精確的，因此它與n=3原因相同。

對於n=6它失敗，例如，取x為1.0000000000000002 （ 1.0之后的下一個double 6.000000000000002 ），在這種情況下， 6x為6.000000000000002 ， x+x+x+x+x+x為6.000000000000001

Answer 2

如果n是例如pow(2, 54)則乘法將正常工作，但是在加法路徑中，一旦結果值足夠大於輸入x ， result += x將產生result 。

Answer 3

是的，但它並不普遍。 乘以高於2的數字可能不會給出相同的結果，因為您更改了指數，如果替換為adds，則可能會略微下降。 但是，如果由添加操作替換，乘以2則不會丟失一點。

Answer 4

如果case_add的累加器result變得太大，則添加x將引入舍入誤差。 在某個時刻，添加x根本不會產生任何影響。 所以函數不會給出相同的結果。

例如，如果double x = 0x1.0000000000001p0 （十六進制浮點表示法）：

n  case_add              case_mul

1  0x1.0000000000001p+0  0x1.0000000000001p+0
2  0x1.0000000000001p+1  0x1.0000000000001p+1
3  0x1.8000000000002p+1  0x1.8000000000002p+1
4  0x1.0000000000001p+2  0x1.0000000000001p+2
5  0x1.4000000000001p+2  0x1.4000000000001p+2
6  0x1.8000000000001p+2  0x1.8000000000002p+2