在图中搜索节点 Graphs

Question

假设您有一个有向无环图。 该图中有两种节点Normal和Error节点。 节点有这样的依赖：

在检查一个节点是否有错误之前，您有一些关于该节点的概率信息。 每个节点都告诉你：我不知道我是否是错误节点，但如果下一个是错误节点，我可能是错误节点。 对于每条边，您都有与 2 个节点相关的条件概率。

对于每个 (A)--->(B)，您都有概率 P(A|B)，它表示如果 B 是错误的，则 A 是错误节点的概率。

您只能检查图中的节点数N 图中的节点总数大于N 。

在这个图中寻找节点的好算法是什么，如果图中有一个error节点，你很可能会找到它？

非正式的问题是这样的：你有一些产品，你想检查它们是否坏了。 但是为了检查你花钱。 你的钱是有限的。 关键是，根据您的预算，如果您发现包装中有破损的产品，您就不会购买任何产品，然后去其他地方做生意。 如果有损坏的产品，您可以花钱增加找到损坏产品的概率的最佳方式是什么？ 我假设您也可以将问题表示为线性规划。 有什么其他方式可以表示问题，您将如何解决？

Answer 1

根据说明错误节点将有（只有）错误子节点的评论，一种简化将集中在叶节点上：如果任何内部节点是错误节点，那么必须至少有一个叶节点也是错误的.

如果叶子的数量也超过N ，那么您必须选择要测试的叶子。 您希望最大化这些叶子覆盖的节点总数。 即找到一组N 个叶子，使它们拥有的祖先数量最大化。

贪婪策略会计算每片叶子的祖先数量，然后选择具有最大祖先数量的一个，并重新计算所有其他叶子的祖先数量。 蛮力策略会尝试选择N 个叶子的所有组合。

类似于线性规划的模型每个叶子可能有一个二元（即 {0,1}）变量。 0 意味着选择它，而 1 意味着不选择它，所以你有一个方程，说明所有这些叶子的总和等于叶子的数量减去N 。 目标函数将是每个内部节点一个被加数的总和。 它们中的每一个的术语将是其后代的叶子变量的乘积。 因此，如果所有叶子都为 1，则每个内部节点的值将为 1，但如果至少有一个叶子为 0，则为 0。最小化这些总和，您就最大化了覆盖的内部节点的数量。 目标显然是高度非线性的，所以它不是线性规划，甚至不是二进制整数规划。

如果数字N与叶子的数量相比非常大或非常小，您可以通过假设一些独立性来近似最优解。 如果你可以选择几乎所有的叶子，你可以寻找那些没有导致其他叶子的内部节点最少的那些叶子。 也许在每一个这样的步骤之后从树中移除掉下的部分。 如果你几乎不能选择叶子，上面的贪婪策略会让你选择那些最大数量的祖先。 在这两种情况下，您可能会假设您的个人选择不会相互影响太多，从而证明贪婪方法是合理的。